Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
de 2гт: ^ я - зп ' 21ъз ~Г z* \N3/ '
Свойство коэфициента "2. Аффиксы коэфициент а2 и другие коофициенты,
фигурирующие в разложении по степеням -, которые
представлены через О ^тт|з"|. являются функциями времени t. Но если
мы предположим, что движение периодическое с периодом Т, то функция w
примет в точности то же значение, когда t возрастет на Т.
I
Если же мы рассмотрим ряд ^ -, стоящий на втором месте
, - п
справа в равенстве (6), то мы видим, что в промежуток времени от О до Г
каждый вихрь изменит свой номер на единицу и ряд видоизменится благодаря
уничтожению двух членов (---------------------------
\е г,
;), так что при обозначениях, которые сами по себе понятны,
-1 /
3
имеем:
к =-
Но при больших значениях | з \ напишем:
I
2 ига
Так как это выражение должно обращаться в нуль при всяком г, то отсюда
вытекает, между прочим, условие:
ra ir_* (*!-*/).
L"2j° 2 iit
или ипаче
I
где е - ± 1, в соответствии с тем, находится г, справа или слева от
вертикали, проходящей через г{.
Если положить ал = а2 -|- ф3, где я3 и ,32 вещественны, то получим:
= [Р.
/А. гйА -_АА 2- > - 4?с
Выражение для [yjjf на больших расстояниях. Из уравнения (6) получаем
непосредственно:
со
? 4- Ц = - Гг 4- - А- v In lg (г - *Л) 4-1
1-^1 Я2 ! /А 1
-f- - ig з-- + о
1 2гтг л
-2 "
откуда
? = - ^ ~ | A arg (с - О A A. arg л- + 0 ([7р ) (7)
и, следовательно,
I тГ 1 V Г - / ч № Х 1
А1о " 2тг ^ А о arg о? -п) 2т: 424.42 +
Ih и о / А_ \
Т- 4lt Ж2 4_?/2 ' \А|3/'
Теперь мы сможем приступить к вычислению выражений, стоящих во второй
части формулы (4).
Вычисление выражения Ига j [<pg (dy-\-idj). Интеграл, Инею-
G''
щийся здесь, берется вдоль сторон квадрата С\', которые изображаются
уравнениями х = ±П, у = ±В соответственно. Прежде чем его вычислять,
заметим, что в формуле (7) можно пренебречь членами
О |j-A j ) имея в виду, что в пределе, при 11 бесконечном, они дадут
нуль. Нам нужно прежде всего запяться выражением:
lim7J ^
O'
А / 2A8arS(" -A) (dy-\-idr) =
С
= 24 J {8arg(s -,?1)4-8arg(s - г2)-\- ... -
С
" 3 arg (2 - %{) - 3 arg (г - л/) - . . , 1 (dy idx).
Но так как вихрь перейдет в ~2 по истечении времени Т, в -3 и т. д:, мы
видим, что ивменения аргументов будут равны углам
з^г", . .. , и мы будем иметь следующую формулу:
и элементарное рассмотрение различных возможных случаев расположения на
чертеже показывает, что угол з^зг( имеет значение, близкое к нулю, когда
г расположен на сторонах квадрата С", кроме левой вертикальной стороны,
между двумя вихревыми цепочками, где его вначение бливко к '2г..
Заметив это, вычислим сперва значение Dv т. е. ту часть D, которая
соответствует горизонтальным сторонам квадрата. Под-
ции становится бесконечным, так что значение предела не является
очевидным a priori. Но мы находим непосредственно:
21/ агц (.- - = Т X ("' - а) = I X
г.гг^,
Рис. 20,
интегральная функция стремится к нулю вместе с -, но путь интегра-
К
Я - У1
X - X.
dx -j~
или иначе
- R
arctg везде имеют главные значения.
Элементарный подсчет дает:
/
arctg ~--Цг dx = (ж - ж/) arctg Ж Х
R-y' v w ь R-y{ ^^Mg [(яг - яг/)" + C-R -
так что Dx будет суммой четырех членов, первый из которых запишется;
Е\ = irz I (Я - "/) arctg ^ - (7? + ж/) arctg E + _
Ь М_У1' V'I'W ь R - yJ
я-у,'
2
Я -Ух 2
lg [(Л_аг/)Я-1-(Л_г//)"1 + lg [ (Л Н- */)" + (-В - У/)"]} -
Но имеем:
, J?--ж/ к у/ - х,' , / .1 \
""* Л=^-Т+- 2RJ-+0(t5)'
lg ЦВ-Х,У + <Д-Ц,'П = Is 2 + 2 lg Д_й1±Й.' + о(4) •
Следовательно, пренебрегая членами порядка - :
lim^ = -^-(-f <)'
и дальше, с тем же приближением:
,, уч i J г я . f \_________________ f ill
где 8 = ±1 в зависимости от того, находится вихрь е1 справа или слева от
я/.
Рассмотрим теперь то, что относится к вертикальным сторонам квадрата С'.
Вне отрезка, определенного равенством s - - II-j-iy
^|?/| < , интеграл будет при соответствующих пределах:
24 / (arctg Ev -arctg W=%) ^
на правой стороне надо интегрировать между -R и -{-R, на левой между -R и
--, далее, между - и R (меняя знак результата).
Ho имеем, как и выше:
т (у) = j arctg |-dy =
R- Xy
- (У - Hi) arctg
у - у' д -ж/
R - Xy' 2
ig [("/-yi') + (R-V)2]-
и, следовательно, часть 7), соответствующая правой вертикальной стороне,
будет:
-°2 = 2^ ((л - У/) arctS - № + у/) arctg Л "*¦ Vl
-
-ж,
7? - ж/
lg
(Д -yt'y + CB -и/)" (Д+у/)2+(^-Оа
R-х/
Пропущенные члены выведутся из написанных внутри скобок отбрасыванием
штриха и переменой знака.
Рассуждение столь же элементарное, что и выше, дает нам:
limS, = Im7j(ii-g,o(J-+'tl'-i'1 + ...)-
R - х
у '(Ху'+Уу' Ху' -У у' ¦
\ R ^ R ^ " ¦
I ( тс , .тс \
= 2^(-ту'
п
4
Что касается значения интеграла вдоль левой стороны, то нужно вести
интеграцию, исключая ту часть, которая находится между двумя вихревыми
цепочками, приняв также во внимание изменившееся направление обхода.
Получаем, таким образом, выражение
В,
-?/(
arctg
-в
R
У- У 1
R-\-Ху
- arctg
У -У1
7?-(-я
Г j dy +
/ (arctgl+f^-arctgi+?r)^
