Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
так как двойные интегралы
/ I TsfWi -?Ki)rf3" ¦ ¦ •
S
равны нулю.
Отсюда следует, что условие возможности имеет вид:
(Аос .Bp -f" Оу) йз = 0.
s
Это же условие очевидно выполнено, ибо во всем пространстве
дх ду ds
Полученная система будет иметь бесчисленное множество решений вида:
г 4-ар, ""4-рр, "4-ур,
где р произвольная постоянная. Мы находим предвиденный результат и, если
прибавить к системе дополнительное условие:
у" = 0, (14)
то будем иметь только одно решение. Теперь легко удостовериться" что
полученные таким же образом значения для 1\, Q2, В2 удовлетворяют всем
поставленным условиям. Прежде всего, количества
, | дЯг
^ ду дг ' ' ''
обращаются в нуль внутри (Щ, как мы видели выше. Следовательно, Л/2
постоянно в В. Но
1 Г f 44 4-'4
гармоническая функция внутри (В) и (J) и кроме того непрерывная при
переходе через -S', так как аI -4- 4 -f- у" = 0 на -S'. Мы видим,
следовательно, что функция, гармоническая в (А),
iff
l'at ш'р, -f- "4
dS,
постоянна на S, одинакова в силу непрерывности по обе стороны S, и потому
постоянна всюду. Отсюда следует, что вектор с составляющими
дЯ%.
дг '
d-4 dQj . дВг
ду '~де"г ду
имеет вихрь, равный ?, ц, ? в (И). Вычислим, наконец, составляющие ", v,
w скорости на поверхности S, идя из области (Л). Имеем:
ОН,
д Q2
ду дг откуда на поверхности
("Э - шу),
"W|)-
или, принимая во внимание систему (12), которой удовлетворяют I, т, п,
получаем:
и - - wy,
V - 1-; - т,
w = пт - 1$,
(15)
что показывает, что скорость касателъна к 8 во всякой точке этой
поверхности. Далее, в силу уравнения (14), получаем из этих формул:
/ = ye $w, I
in -aw - ум, 1 (16)
п - - av, }
что придает потенциалам I\, Q2, В., форму Пуанкаре:
1 ГГ If V - P'w'
hff-
-fa',
где фигурируют скорости на поверхности, которые на этот раз известны.
Мы замечаем, что система уравнений Фредгольма настоящего параграфа
[уравнения (12) и система уравнений (5) и (7) прошлого параграфа]
выводятся друг из друга по формулам преобразования (15) или (16).
Случай движущегося еосуда. Случай движущегося сосуда (в трех измерениях)
сводится к случаю сосуда неподвижного. Пусть, в самом деле, 2 вектор-
вихрь в точке М жидкости в собственном движении последней, отнесенном к
неподвижным осям, в то время как движение сосуда задано. Пусть а> вектор
(р, q, г) мгновенного вращения сосуда в данный момент f; и пусть 2,
вектор-вихрь, происходящий от относительных скоростей точек жидкости по
отношению к сосуду.
Имеем соотношение:
(а) = (ш> + (ог).
Эта теорема может быть доказана вычислением; она становится очевидной,
если вспомнить механический смысл вихря, рассматриваемого как вектор
вращения маленькой сферы, отвердевшей и помещенной в точку М. Тогда мы
приходим просто к теореме сложения вращений. Благодаря этому результату,
знание истинных вихрей 2, во всей массе, позволяет вычислить, во всякой
точке, значение относительного вихря. Мы, таким образом, приходим к
задаче, рассмотренной выше, где рассматривался случай неподвижного
сосуда; и в самом деле, получается движение по отношению к сосуду. Раз
это движение получено, остается сложить его о движением самого сосуда,
что дает нам истинные скорости во всякой точке и во всякий момент, и
притом только в функции вихрей (и движения твердой оболочки).
ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ. БЕСКОНЕЧНО ТОНКИЕ ВИХРИ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Изучение плоских движений. Бесконечно тонкие вихри. Мы рассмотрим в
настоящей главе случай жидкости, заключенной в прямой цилиндр,
параллельный Ог. Этот цилиндр имеет два основания, нормальные к Ог\ все
совершается совершенно одинаковым образом в любом сечении г = eonst, и мы
можем вообразить жидкость неограниченной в направлении Ог, так что высота
в наших рассуждениях не будет играть роли. Мы предпочтем в последующем
именно эту последнюю интерпретацию, которая освободит нас от введения
фиктивных вихревых слоев на двух плоскостях, в случае, если жидвоотъ была
бы ограничена.
Вихрь 2 сводится здесь к своей составляющей S;
" 1 / ди ди \
~2\ Их ~~ 1у )'
интенсивность трубки сечения do равна
I = 22do, при 2 - ± С.
Мы напишем:
1= ЧЫо,
уславливаясь давать интенсивности знак. Когда меняется t, трубка
перемещается и деформируется, но da и С остаются постоянными. В самом
деле, рассмотрим кусочек трубки высотой h, его объем будет hdo. Но трубка
образована все время одними и теми же элементами и жидкость несжимаема,
следовательно, Мо остается достоянным, а потому do = const. С другой
стороны, - интенсивность трубки постоянна, согласно общим теоремам.
Следовательно,С также постоянна (относительно <)• Трубка конечного
сечения сохраняет, следовательно, постоянное сечение, и всякий элемент
там сохраняет свое значение С (перемещаясь, быть может, вместе с
остальными).
Уравнение неразрывности сводится к
Существует функция тока ${х,у, 1), и можно написать:
ду !
дх
-2; = Д6:
ф удовлетворяет, следовательно, этому последнему уравнению, где С равно
нулю вне вихревых трубок и не равно О внутри (уже отмечена аналогия между
