Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
75
квантом звука. Величина fico^ есть наименьшая порция энергии выше уровня основного состояния lAhu>q. Фонон, таким образом, есть коллективное элементарное возбуждение ионной решетки в целом.
В гамильтониане (2.49) можно произвести еще одно преобразование:
bq =(2mhu>q)~ll2Pq - i(mu>ql2h)ll2Uq, (2.51)
bq =(2mhu>q)~ll2Pq +i(mojql2hyl2Uq. (2.52)
Л Л
Легко проверить, с помощью (2.48), что операторы bq и bq подчиняются правилам коммутации
[bq. Ь*']_ =«„¦, [bq.bq ]_ = lbq.bq ]_=0 (2.53)
и гамильтониан (2.49) примет более компактный вид:
Ж' = Е ^ bq bq + —^ h u>q = — I hco, +I,bqbq hco, = ?„ + Eriqh<jjq. (2.54)
2 q q 4
А л
Сравнивая (2.54) с (2.50), видно, что оператор bqbq является оператором
Л А+ А
числа квазичастиц — фононов nq. Операторы bq и bq называются бозе-операторами, а фононы — это бозе-частицы, или бозоны, подобно световым квантам, или фононам. Волновая функция системы бозонов симметрична относительно перестановок координат любой пары частиц. При статистическом описании бозонов используют статистику Бозе — Эйнштейна (отсюда и их название). В частности, среднее от числа бозонов пц дается известной формулой (см. ниже § 2.7.2):
nq = [ехр(Ьш(,ДБЛ - 1 ] , (2.55)
а средняя энергия осциллятора равна
?q = (nq + 1Л) hu>q. (2.56)
В трехмерном случае q надо заменить на вектор q, а также учесть поляризацию для акустической и оптической ветвей.
§ 2.3. Удельная теплоемкость решетки
Еще в 1819 году был найден эмпирический закон Дюлонга и Пти, по которому атомная теплоемкость при постоянном объеме для подавляющего большинства твердых тел практически постоянна (не зависит от Г) и равна
Су = 6 ккал/град моль «25 ¦ 103 Дж/кмоль ¦ К. (2.57)
Это можно легко объяснить на основе общих законов классической статистической механики и представлений о колебательном характере теплового движения кристаллов. В киломоле одноатомного кристалла находится Na атомов (Na - число Авогадро ~ 6,06 ¦ 1026 кмоль-1). Поэтому число степеней свободы равно 3NA . По закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую степень приходится в среднем 1АкъТ кинетической энергии. Если представить себе кристалл как собрание 3NА гармонических осцилляторов, то их полная энергия равна сумме кинети-
76
Рис. 2.IJ. Сравнение опытных данных для молярной теплоемкости Су (в ккал/град моль) некоторых твердых тел в зависимости от приведенной температуры Т/вq с теоретической кривой по Дебаю (см. формулу (2.72).
ческой ек и потенциальной ер энергии. Из статистики также известно, что средние значения этих энергий для гармонического осциллятора равны между собой и каждая из них равна 3/гкъТ, а их сумма 3кБТ. Читателю предлагается все это доказать в качестве упражнения. Таким образом, тепловая энергия киломоля одноатомного кристалла равна ?= 3NAkBT= = 3RT, где газовая постоянная R ~ 2 ккал/моль = 8,31 • Ю3 Дж/кмоль К,а для теплоемкости имеем
/ ^ \
Су = I ----) = 3R ~ 6 ккал/град. моль ~ 25 • 103 Дж/кмоль ¦ К; (2.58)
\ ЪУ ! у
таким образом, теоретическая формула (2.58) подтверждает опытный закон Дюлонга и Пти (2.57).
Первоначальные опыты Дюлонга и Пти относились к сравнительно узкому интервалу температур вблизи комнатных (~ 20 С). По мере расширения этого интервала были замечены две тенденции: рост Су с повышением Т, по мере приближения к точке плавления (см. ниже 2.4.2), и спад Су при охлаждении, где была обнаружена общая закономерность: CV ->¦ 0 при Т^О (как это видно из кривой рис. 2.13). После того как В.Нернст (1906) открыл тепловую теорему (третье начало термодинамики), это свойство теплоемкости оказалось простым следствием этой теоремы. А. Эйнштейн (1906) первый качественно объяснил кривую рис. 2.13 для Су (Т), используя квантовую теорию. Он предложил рассматривать кристалл как совокупность 3Na линейных квантовых осцилляторов с одинаковой частотой со, энергия которых всегда кратна минимальной величине hco: /ihco (п = = 1,2, ...), т.е. имеется спектр дискретных невырожденных состояний (Я„ = 0-
Применяя обычную формулу для суммы состояний Z, получим Z(T) = Z ехр [ - (и + й) heо/квТ ] =
п = О
(л+ 1/2) ехр (-Ьсо/2&бЛ
= 2 [ехр(-ЬаУ*БГ)] = , Д V ^ ' <2'59>
л = о 1 — ехр (- псо/А:ЪТ)
77
По опредепению, средняя энергия е линейного осциллятора равна _ hoj 1 ¦»
е =------+ ----- Z nhoj exp ( - nhui/k Б Т) =
