Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗСЭЛ=- ? h2A//2mM+ ^ С(Л,-.г/)+ ? И'(г„гг), (1.65)
/=1 <,/'= 1 /'</'"= 1
где Rj — положения неподвижных ядер или остовов — источников поля, действующего на электроны. Однако и в этом приближении решение уравнения Шредингера встречает огромные математические трудности. Главная из них заключена в третьей сумме в (1.65), ’’перепутывающей” координаты электронов и не позволяющая использовать метод Фурье разделения переменных, т.е. свести задачу многих тел к сумме одночастичных. Нельзя воспользоваться и теорией малых возмущений, ибо, как правило, невозможно выделить в последней из сумм в (1.65) малый безразмерный параметр, поскольку практически все взаимодействия оказываются сильными. Это прежде всего относится к кулоновскому взаимодействию. Даже если его формально считать малымиприменитьтеориювозмущений.тодлявеличины энергии, начиная со в то рого п рибл ижения, получаем расхо дящий ся результат.
Возникает естественное желание избавиться от сильных взаимодействий. Проще всего их вообще не рассматривать. Однако при этом наверное будут потеряны существенные свойства изучаемой системы. Поэтому усилия были направлены на разработку таких методов, которые бы учитывали взаимодействие, но при этом эффективно сводили бы его действие к некому квазивнешнему полю, допуская тем самым возможность одночастичного подхода к решению задачи многих тел. Один из таких методов был предложен Хартри (1930) и усовершенствован Фоком (1932) в связи с задачами многоэлектронных атомов. В методе Хартри — Фока многочастичную волновую функцию ищут в виде антисимметризованного произведения одночастичных функций и парное взаимодействие усредняется по ним. В результате линейная многочастичная задача сводится к нелинейной одночастичной.
1 Об обосновании адиабатического приближения для электронов в металлах см. Бров-ман Е.Г., Каган Ю.М. - УФН, 1974, т. 1 12, с. 369.
59
Этот метод с успехом применяется в задачах многоэлектронных атомов и молекул. В кристаллах его использование связано с большими трудностями. Иногда просто принимают, что усредненное взаимодействие Хартри -Фока как-то включено в потенциальную энергию электрона относительно ионных остовов. Ниже мы будем пользоваться этим грубым приемом.
Помимо метода Хартри - Фока, широко распространен метод унитарных преобразований. Идея его заключается в том, что гамильтониан (1.65) подвергают унитарному преобразованию - переходя от исходных координат к новым с целью добиться того, чтобы член с взаимодействием (1.65) стал малым. Если это удается, то проблема сводится к сумме одночастичных задач с малым возмущением. Только ’’частицы” тогда не совпадают с исходными, а являются квазичастицами, в которых включено, по крайней мере частично, взаимодействие исходных частиц. Проиллюстрируем этот метод на примере двух тел, где он применяется последовательно. В этом случае гамильтониан имеет вид
JC = - h2 Д1/2»г1 -Ъ2 A2/2m2 + W(rt - г2). (1.66)
Переходим от координат г\ wr2 к относительной координате г и координате центра масс R:
г=Т\ - г2 и О»] + m2)R=mlrl + m2r2.
В результате, вместо (1.66), получаем
Л, / >п,т2 \ Л Л _
JC =h Дя/2(нг, + m2)~h2Ar/2[-------------)+ W(r) = Xr +Xr. (1.67)
\ nil +m2 /
Таким образом, в новых координатах достигнуто полное разделение переменных. Получаем два уравнения Шредингера для описания движения двух квазичастиц: одной с эффективной массой (/«! +т2) и координатами центра масс R и второй с эффективной массой, равной приведенной массе mlm2/(mi +т2), и относительной координатой г . Итак, метод унитарных преобразований позволяет свести в данном случае двухчастичную задачу к сумме двух одночастичных задач для квазичастиц. Иногда они лишь немного отличаются от исходных. Например, в случае, когда исходная частица слабо взаимодействует со своим окружением. При своем движении она отталкивает или притягивает другие частицы и оказывается окруженной ’’облаком” возбужденных соседей. Квазичастица и представляет собой сумму исходной частицы и рожденного взаимодействием облака. Последнее может экранировать исходную частицу от остальных, что приводит к уменьшению взаимодействия между квазичастицами. С примерами таких квазичастиц мы будем часто встречаться ниже.
Кроме таких квазичастиц, гинезис которых от исходных ясно прослеживается, могут быть квазичастицы, совершенно не похожие на исходные. Их называют коллективными возбуждениями. Эти образования связаны не с движением отдельной исходной частицы и ее облака, а с коллективным движением всей системы как целого. Типичным примером таких квазичастиц является фонон - квант звуковых (упругих) колебаний ионной решетки, а также плазмон - квант колебаний электронной плотности в кристалле и многие другие. К вопросу о квазичастицах мы будем возвращаться на протяжении всей книги.
60
§ 1.9. Свойства неупорядоченных систем
До сих пор речь шла об идеальных кристаллах, которым и посвящена в основном эта книга. В современной физике твердого тела важную роль играет изучение некристаллических веществ, а также неупорядоченных сплавов в кристаллическом состоянии, свойства которых в некоторых отношениях близки к свойствам идеальных кристаллов, а в некоторых -резко отличны от них. Все же, если раньше было принято делить макроскопическую физику, с одной стороны, на физику твердого тела (имелись в виду кристаллы), а с другой - на физику жидкостей и газов, то теперь чаще говорят, с одной стороны, о физике газов (и плазмы), а с другой -
