Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
bgr = m,gt + m2g2 + m3g3 = n, (1.26)
где n — заданная постоянная. Чтобы эти плоскости были кристаллическими, т.е. заполненные узлами прямой решетки Браве, надо, чтобы (1.26) удовлетворялось тройкой чисел my,m2,m3 (см. (1.17)). Есш gx, g2, g3 заданы, а постоянную п выбирают в виде ряда чисел, то (1.26) дает семейство параллельных кристаллических плоскостей. Таким образом, каждому вектору bg обратной решетки соответствует свое семейство плоскостей кристалла. Числа gt в (1.26) всегда можно выбрать так, чтобы они не имели общего делителя, кроме единицы, т.е. были взаимно простыми. Их называют индексами Миллера данного семейства плоскостей, и они
из' =bt[b2b3] =(а,[а2а3]) 1 = ы 1
(1.25)
31
обозначаются тройками чисел, заключенных в круглые скобки (#, ,g2,g3) • Плоскость, определяемая по (1.26), пересекает оси координат, выбран-
длин этих отрезков соответственно в единицах а,- равно gi':g2':g3', т.е. обратно индексам Миллера. Поэтому эти индексы для плоскостей, параллельных координатным (для которых gf1 : g2l : gJ1 = 1 : 00 :
00 ; 1 ; 00; 00 ; 00 ; ])' имеют вид (100), (010), (001). Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений координат, то знак минус ставится над индексом (100), (010), (001). Плоскости, проходящие через диагонали противоположных граней элементарного куба, имеют индексы (110), (101), (011) и т.д. Плоскость, отсекающая отрезки а,- от трех осей координат куба, имеет индексы (111). Если речь идет о плоскостях кристалла, эквивалентных по характеру симметрии, то их индексы заключают в фигурные скобки, например { 100).
Для обозначения осей кристалла используют также индексы, дающие набор наименьших чисел, относящиеся как слагающие вектора, параллельного данному направлению в соответствующей системе координат. Эти индексы заключают в квадратные скобки. Например, для оси вдоль вектора а, имеем [100] и т.д. Эквивалентные направления записываются как (gig2g3). В кубических кристаллах направление нормали к плоскости имеет те же индексы; например, (100) и [100] и т.д. В кристаллах других систем это в общем случае не имеет места. В гексагональных решетках пользуются четырехзначной системой индексов, соответственно четырем осям а,, а2, а3, с (см. рис. 1.14, б). Так, для гексагональной оси будем иметь [0001 ].
Укажем еще два свойства обратной решетки, которые нужны для последующего изложения. Во-первых, вектор обратной решетки bg, указывающий точку ?i, g2, ?3 в ней, перпендикулярен к плоскости (?i?2?3) прямой решетки. Действительно, вектор (di/gi—a2/g2) лежит в плоскости (gig2g3) • Поэтому его скалярное произведение на вектор bg равно, в силу (1.22) и (1.24),
bg(ajgl-a2lg2) = (glbl +g2b2 +g3b3)(ai/gi -a2/g2) = 0,
т.е. эти векторы взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать. Во-вторых, длина вектора bg равна обратной величине расстояния между соседними плоскостями семейства (gig2g3) прямой решетки. Пусть п0 — единичный вектор нормали к этим плоскостям, тогда скалярное произведение flirto/tei дает величину межплоскостного расстояния. Но, поскольку по условию п0 = bgj\bg I, то, в силу (1.24),
Эта формула справедлива, если компоненты вектора bg не имеют общего множителя. В противном случае
где /; - целое число, общий наибольший делитель компонент вектора bg относительно трех осей обратной решетки.
(J(g\g2g3) = n0ai/gi = bgal/gl\bg\= \/\bg\.
(1-27)
d (gig2g3) = n/\bg I,
(1.27')
32
§ 1.4. Примеры простейших кристаллических структур
Переходя к рассмотрению реальных кристаллов, напомним о двух типах плотнейших шаровых упаковок. Существует только одно наиболее плотное расположение шаров одинакового диаметра в одной плоскости, когда вокруг центрального шара расположено шесть шаров, центры которых находятся в вершинах правильного шестиугольника (рис. 1.17, а). Сложнее обстоит дело с укладкой друг на друга таких слоев. Для более плотной упаковки следует шары каждого следующего слоя помещать в углубления между шарами предыдущего. Тогда расстояние с между центрами шаров первого и третьего слоя определяется отношением с/а = 1,633, где а - диаметр шара (рис. 1.17,6), вместо с/а = 2 (рис. 1.17,в), когда шары следующего слоя помещаются не в углубления, а на сами шары предыдущего слоя. Из рис. 1.17,а видно, что в основании элементарной ячейки есть шесть углублений (см. там маленькие кружки), а поместить в них одновременно можно всего лишь три шара, заняв таким образом только половину числа углублений.
Здесь появляются две возможности: 1. Три шара верхнего (третьего) слоя занимают углубления второго слоя точно над шарами первого слоя (см.рис. 1.17, о и г, углубления обозначены черными кружками). Таким образом, первый и третий слои оказываются идентичными. Это случай плот-
Рис. 1.1 7. Два типа плотнейшей упаковки шаров одинакового радиуса а. 3. Зак.768
33
Таблица 1.7
Некоторые важнейшие сведения о структуре кристаллов ряда химических элементов
Элемент Плотность, Постоянная Атомный объ Расстояние
