Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к описанию интересного эффекта, возникающего при экранировании примеси вырожденным электронным газом - фриделевских осцилляций (Ж. Фри-деяь, 19S2). Ограничимся случаем свободных электронов и сферически симметричного потенциала V (г ). Тогда волновая функция мультипольности / представима в виде
Ф (г) = (х(r)lr) У,т(в, *), (4.411)
где У 1т(в, If) - шаровая гармоника, а \(г) удовлетворяет уравнению
х»+ [2mh-*\E- V(r)] -l(l+l)lr')x(r) = 0. (4.412а)
Запишем уравнение для функции х i, отвечающей энергии :
х;»+ [2тЬ-г[Е1 - V(r)] -/(/+ l)/r* ] х,(/0 = 0. (4.4126)
Умножая (4.412а) на xt ('"), а (4.4126) на х(0, вычтем одно из другого. Это даст
х,(') x’V) - хМ х',» =- (х,(Г) х'(г) - х‘,(г) xMF = 2тЪ'г(Е1 - E)Xl(r) x(r).
(4.413)
Проинтегрируем (4.413) от 0 до Л с учетом условия х(0) = 0:
R
х,(Л) x'(R) - x\(R)x(R) = 2тЬ~г(Е1 - Е) f dr Xl(r)x(r). (4.414)
О
Асимптотика x(R) на больших расстояниях R известна:
х(Л) «Л sin [kR+ -nl/2 + «/(*)], (4.415)
где 6/ (Лг) - фазовый сдвиг, к = (2/г1?ул* )1/а , А - коэффициент нормировки. Устремим /с, к к: кt = к + 6к. Тогда получим
Xi (Ю * х(Л) + &к, Е1 - Е°°Ь*к6к/т. (4.416)
Ък
Подставляя (4.416) в (4.414), имеем 1 Г 3y 3y Э*Х 1 ^
2*[а*ай-ха*5г]в/^" щ(к’ R)’ (4’417)
Вычисляя производные, найдем
1 [ Эх Эх э’х \ 1 , э*
— I —— — — Y —¦ ¦ — I =---------у* - In Y =
2к V ЭЛ Ьк dRdk / 2к bkbR
**--y+6/(*)]lir kciS[kR-Y + «,(*))] =
А1 Г Э&,(к) 1 / тг/ V
Т [R + — ~Тк «» 2 (*Л-Т +«/(*)) •
А* ¦ 1
— sin
2 к
(4.418)
Величина п/ (к, R) имеет смысл вероятности обнаружить частицу в квантовом состоянии I klm> внутри сферы радиуса R. Предположим для определенности, что наша сис-
18. Зак.768 273
тема помещена в непроницаемый сферический ящик радиуса L :
x(L) = 0. (4.419)
Тогда при R - L число л; (к, L) = 1, откуда получаем (L -*«•)
А2 = 2 Ц. (4.420)
Нас интересует изменение электронной плотности при включении примесного потенциала. Вычтем поэтому из (4.418) значение при &i(k) = 0, с учетом (4.419) находим
Дл/Ot, R) = L"1 [bbi(k)!bk + sin bi(k)/k • cos (2kR - nl + 6/(A-))|. (4.421)
В силу условий (4.419) с учетом (4.415), допустимые значения к могут изменяться на ir/L. Таким образом, кратность вырождения | kl > равна (2L/п) (21 +1), где множитель 2 обусловлен спином, а 21 + 1 - квантовым числом т. Тогда для полного изменения плотности электронов получаем
2 *Ф
Дл(Л) = — 2(2/+ 1) / dk[dbt(k)ldk - sin6;(/t)//t cos (2*Л - ir/+ 6,(/t))J. (4.422)
* I 0
При Л-»°° получаем полное изменение числа электронов, которое, в силу электронейтральности, должно равняться избыточному эффективному заряду примеси по сравнению с зарядом ионов матрицы ДZ:
AZ=- 2 (2/+ 1)6,(*ф ) (4.423)
я 1=0
(правило сумм Фриделя). Мы опустили величину 6; (к = 0), так как если сечение рассеяния конечно при к-*0, то 6/(0) =0.
Осциллирующая часть электронной плотности равна
p(R)= [dAn(R)ldR]/4*R2. (4.424)
Подставляя (4.422) в (4.424), интегрируя по частям и оставляя ведущие члены по R~1, найдем
p(R) = - (2**R3)-' 2 (21 + 1) (- l/sin 6/ cos (2k<frR + 6/(fc<j>)). (4.425)
/
Такое медленное и осциллирующее спадание электронной плотности на больших расстояниях от заряженной примеси есть следствие фсрмиевской статистики. Как мы увидим в гл. 5, оно приводит к важным следствиям в Teqpnn магнитных свойств переходных ^/-металлов и редкоземельных металлов.
§ 4.8. Заключение. Роль многочастичных эффектов
Зонная теория служит в настоящее время фундаментом всей электронной теории металлов и полупроводников. Она дала возможность упорядочить и объяснить огромный экспериментальный материал. При этом особенно важным является не только существование достаточно надежных методов расчета энергетического спектра (для металлов особо следует отметить концепцию псевдопотенциала), но и прямого определения вида поверхности Ферми и распределения скоростей на ней из экспериментальных данных.
