Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
± = . ~ дг„ Ре
Мае
•ч2
°ре
(со ± Шо)а — С2 (к ± к0у — сор
Подстановка (20.19) и (20.20) в {20.9), (20.10) и (20.13) приводит к дисперсионному уравнению [6]
DH (со, k) = - k*vl (1 /Dem + 1 ЮЁм), (20.21)
где величины
D%M = (со ± ®0)2 — с* {k± k0f — а% (20.22)
представляют собой дисперсионные функции обыкновенных электромагнитных волн на смешанных частотах, a DH описывает гибридную волну и определяется выражением
Dh -= 1 !%е + 1/{Хг + [1 — SXk/(l + X*)]-1}.
Здесь
X; =
ре
Хь
щ
т.
CkZl
ре
1 + НС. ,Zk
(20.23)
(20.24)
(20.25)
(20.2В)
Заметим, что при Xfe^l выражение (20.23) упрощается: г
DH = 1/Х. + l/(Xi + 1 + 2хл). (20.27)
Отсюда следует, что для свободной гибридной волны
1 +Х. + Х? + 2Ха = 0, (20.28)
а параметрическое возбуждение описывается соотношением
1 + X* + X; + =
Щ-
(а?Не +
Di
+
D~pm Di-
(20.29)
¦'EM ‘-'EM
Уравнение (20.28) имеет решения двух типов, которые соответствуют так называемым нижне- и верхнегибридному резонансам. Характерные частоты нижнегибридных резонансов удовлетворяют неравенствам
<г«со
pi
со
LH
«со'
: С0‘
ре
(20.30)
Соответствующее решение уравнения (20.28) имеет вид
со
Не
+ k42p
LH
а% + ^и2е + аНе
те
mi
ре
X
X
1 +
к2и\
тк
*4
(4нТ
(20.31)
171
где со?н — частота нижнегибридного резонанса, найденная без учета температурных эффектов и примеси, т. е.
Кя)2 = ^“У« + 0- (20.32)
Использовав (20.31), перепишем исходное дисперсионное уравнение (20.29) в виде
,2 _ со|„ = G (1 /DtM + 1 /DIm) , (20.33)
где
СО'
и,6
G = k2vl---------------------2-----------
« + + “D
x
«нГ
k2u2
+ M + . (20.34)
Нетрудно видеть, что при тех значениях частоты со, которые являются решениями уравнения (20.33), Dem^Dem, так что слагаемым 1 /Dem можно пренебречь {6].
Введем частоту второй электромагнитной волны со2 = соо—сoLh¦ Учитывая, что в резонансных условиях Оём(^0 — k, со2) = 0 и ©о — с2/:2 — (0%=0, получаем волновое число гибридной волны, при котором резонансное условие выполняется точно:
k = k0 [1 ± (1 — <x>L„ (2(d0 — иЫ/ЛУ)]*/.. (20.35)
При наличии расстройки частоты используем обозначение
Асо = (о0 — u)lh — (20.36)
и преобразуем дисперсионное уравнение
со2—со|я = С/[(о)0 —со)а —coi] (20.37)
к следующему виду:
(со — о)LHf — Асо (со — соlh) + G/4(o2ti)LH = 0. (20.38)
При выводе (20.38) использованы приближенные соотношения «> + ®lh « 2(aLH\ (о0 — со + (о2« 2(0.
Решением уравнения (20.38) является
<0 = 0»! = a+ Аа)/2 + (1/2) [(Асо)2 — G|^s>u^чi^i,,. (20.39)
Инкременты и пороги
Рассмотрим тот из корней (20.39), который при G/co^ho)2> >(А(о)2 и экспоненциальном факторе exp(ico^) соответствует нарастанию во времени, т. е.
©1 = ©1Л + Аю/2 — (i/2) [G/(0l«0)3 — (Асо)2]1/.. (20.40)
172
Из этого соотношения вытекают пороговое условие
G = (Аю)2
и следующее выражение для максимального инкремента:
Ут = (l/2)(G/(0/.H(Bij),/*,
(20.42)
(20.41)
которое имеет место при Асо = 0. Если |До>|>2,ут, то нарастания нет.
Для учета затухания взаимодействующих волн введем искусственно, как это обычно делают при изучении параметрических явлений (см., например, [9]), линейные коэффициенты затухания параметрически возбуждаемых волн Ti и Г2 (т. е. нижнегибридной волны с частотой ац и электромагнитной волны с частотой сог)-Тогда амплитуды будут подчиняться уравнениям
где Оо — амплитуда волны накачки и предполагается, что затухание мало.
При учете затухания аналогом (20.38) является уравнение вида
(ю — 4>lh)2 — Г\Г2 -f- G/4d)LHa2 ¦— [i (Г\ + Гг) + А со] (со — +
Вблизи порога, где со вещественно, ю—югл^АсоГ^ДП + Гг), что совместно с (20.44) приводит к следующему пороговому условию:
Инкремент в отсутствие расстройки частоты (А(о = соо—ыьн—©2=
Заметим, что с помощью соотношений (20.31) и (20.34) фигурирующую в (20.46) величину G/a>LH<i)2 можно представить в виде
