Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
fш ig) — {Tnl (g) ei, е,).
Ей соответствует функция
?„l($ = (T"l(g)e1, е,), Ъ = &п, (1)
на сфере S'1-1, инвариантная относительно всех преобразований
?(A)cp(|)=cp(r1|))
где h?SO(n—1) (т. е. относительно вращений вокруг оси Охп). Следовательно, гармонический многочлен
фт (х) = г1 срл/ ^
соответствующий функции срл/(|), должен обладать той же инвариантностью.
Как было показано в п. 5 § 2, каждому гармоническому многочлену из пространства l?)nl взаимно однозначно соответствует смежный класс пространства 91"* по подпространству r23Rn’ Но легко видеть, что единственным таким смежным классом, инвариантным относительно вращений вокруг оси Охп, является (с точностью до постоянного множителя) смежный класс х1 -|- г*3\п’Поэтому гармонический многочлен, соответствующий зональной сферической функции срл/(|), является (с точностью до постоянного множителя) гармонической проекцией функции х1. Вычислив эту проекцию по формуле (15) п. 5 § 2, получим
„ , чр (—!)*/(/—!)...(/— 2k + \)r*kxl-2k
Нхп = L ~21*к[(п + 21 — 4) (л + 21 — 6)...(л+ 2/ — 2к — 2) ‘ ^
к —О
' Итак, мы доказали, что зональная сферическая функция представления V11 (g) (с точностью до постоянного множителя) является значением на сфере S"”1 гармонического многочлена Нх1 \
?„/(&) = а„/Я«* =
\И 21
___________(-!)*/(/- l)...(/-2fe+l)___________ г_2А ,
2kk\ (л-)-2/ — 4)(л-)-2/ — 6)... (л 2/ — 2k — 2) л ‘ ( ’
= ат2
Полученное выше выражение для Нх1п можно записать короче
с помощью многочленов специального вида, называемых многочленами
Гегенбауэра. Эти многочлены определяются формулой
(тР Г (р tn) f т (т I) i
^тКЧ — т|Г(р) 2а(р+/п — 1) “г
т (т — I) (т —2) (т — 3) '2«-1-2(р + 1Я—1)(р + /я —2)
т- 4
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ сферические ФУНКЦИИ 453
Сравнивая формулы (2) и (3), получаем
/!Г (" —К—\ п-2, .
Нх1п =-----....n=^r‘Ci 2 у. (4)
л-2 ,
X п
Равенство (4) показывает, что rlCt 2 yy'j является гармоническим многочленом, принадлежащим пространству jQ>nl.
Из формул (2') и (3) следует
?«® = ».,С,Т (У. (5)
Чтобы найти значение коэффициента Ьп1, положим в равенстве (5) 1 = 1л = (0, 0, ..., О, 1). Из формулы (1) следует, что <рл/(|„) = = (ei> ei)=l- Поэтому имеем
п —2
1 =Л|С,“ 0).
Таким образом, мы доказали, что
?л/С0 = С/Л(и, (6)
Q 2 (1)
2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для многочленов Гегенбауэра. Чтобы вывести дифференциальное урав-
п ^ /х <
нение для многочленов Гегенбауэра, заметим, что г1Сч 2 \~у\ является гармоническим многочленом, т. е.
д[>С,~(^)] = 0. (1)
Перейдем в этом равенстве к сферическим координатам г, 0, ..., 0„
Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид
4-т (r"1 в-яЬ [
где точками обозначены члены, содержащие производные по переменным ви, Is<.k^n — 2. Поскольку ^=cos0„...i> равенство (1) принимает вид
Л2 д—2 л л —2
Q 2 (cos0„_!) -h (« — 2) ctg 0! -ЗБ—с 2 (cos0/l_1) —j—
ЛА2 W 1J I V* ^‘¦6 V1 /)A
aD/i — L aDn-i l
n— 2
^ -f/(71+/— 2) С * (cos 0„_1) = O.
I
454 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Делая в этом уравнении подстановку cos0„_i = ^, п — 2 = 2р, получим дифференциальное уравнение для многочленов Гегенбауэра:
(1 - (О - (2р + 1) t -jy Cf (t) + l(2p +1) Cf (t) = 0. (3)
Из уравнения (3) получается рекуррентная формула для многочленов Гегенбауэра. Продифференцируем обе части равенства (3) п. 1. Сравнивая полученную формулу с аналогичным разложением для С^1, (t), получаем
S-Cpm(t) = 2PCpm±\(t). (4)
Из равенств (3) и (4) вытекает, что
4р(р+ 1)(1 — о с?+| (0 - 2р(2р + 1) tCP±\(0 +
+ /(2/>+/)CJ(9 = 0. (5)
Отметим еще, что из формулы (4) вытекает соотношение
dk пр га _ 2* г (^ + *) рР+* ('fi'l
Другую рёкуррентную формулу для многочленов Гегенбауэра выведем, исходя из равенства (4) п. 1. Перепишем это равенство в виде