Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Иными словами,
mn v®' nrfi \?> /
Положим в доказанном равенстве
320 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU (2) [ГЛ. VI
Так как углы Эйлера матрицы равны тг, т, —тг, то
-Pm'/i' (Ch Т) = е'“ (т' " П'] 1 (Ch Т)
или, иначе,
(ch х) = (- 1 )л - m ' - > (ch х) = (ch х). (10)
Итак, мы доказали, что
^L(cllT) = '-PL(dlT)- (Ю')
Отсюда, в частности, вытекает, что ^„„(clix), 0=^х<^оо с вещественным значком I принимает вещественные значения. Покажем что тем же свойством обладают функции
/(х)= _Ц_------------1 ЯГ 2 + IP (Ch X) .
J ' ' /1 \ + тп
r(i- + fp-»)
В самом деле, из формул (10) и (3') следует
+1’Vhx)=(-ir-niJ +?p(chx)=
г ("9" + г> + т) Г (у + ‘9 ~т) _ _L + ц
= (~ 1)л~ m -Н----------ГТТ----------^ (ch т)- О!)
Г(т2+г’р + ,1)Г(т+/р~")
Так как
г(у —*Р —«)г(у+ 'Р+'”) sin™(y + 'P + «j
Г(т“'г’р“'")Г(т + г’р + ") sinit(y + «P + m)
то из (11) вытекает, что /(х)=/(х). Тем самым вещественность /(х)
1 1 ¦
--ip
доказана. Отсюда вытекает, что функции флл2 (ch х) принимают лишь вещественные значения при 0^x<jdo и, в частности, что ф I ^; (ch х) — вещественная функция.
7. Функции tylmn(z) в целочисленном случае. Пусть / = (/, е)
целочисленно, т. е. пусть / —j— е и I—е — целые числа. Как было показано в п. 5 § 2, в этом случае представление Tx(g) приводимо.
Если I — е^О, то при п^ — I—е функция Tx(g)e~inb принадлежит ?>Г и потому разлагается по функциям е_‘т6, т ^ — I—е. Поэтому при I—е<0 ия^; — I—е, т —I—е имеем
§31 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Tx(g) 321
Точно так же доказывается, что при I—е^О и п^1 — е, т^>1 — е имеем ^л(гг) = 0.
Аналогично, если I — е^О, то Щ1тп(г)= 0, при п 2э= — I—е, т<^—I—е или при п^1—е, т^>1—е.
В целочисленном случае функции ^„(chx) являются многочленами от th-^- и sh ~ . Рассмотрим, например, случай, когда /, т и
п одновременно являются целыми или полуцелыми числами, причем т, п^>1^>0. Тогда подынтегральная функция в формуле (1) п. 3 § 3 имеет внутри контура интегрирования лишь одну особую точку
z = —Поэтому в силу теоремы о вычетах
Фтл (ch Т) =-------5-TT" Wtt [*"'~1~1 (ch ¦Т + ~ sh + “].
Г(п —/)ch»-*y L V '
где после дифференцирования следует сделать подстановку z = = — th~. Применяя теорему Лейбница, имеем
(chТ)==(— 1)т_вГ(/+я+ 1)Г(от — /)зЬт-л~сЬ-т-лу X
N
V (-l)*sh*
х Z
s! Г (/ п — s + 1) Г (га — I — s) Г (т - ~ п + s + 1) ’
s = М
где M = max(0, ti—т), N=m.ui(n — I—1, я-j-Z).
Формулы для ^„(chx) в остальных случаях, когда у = (1, е) целочисленно, легко получаются с помощью соотношений симметрии п. 6. Отметим, что в целочисленном случае при I—е<^0 функции
— оо<^л^/ — е образуют ортогональный, но не нормированный базис относительно инвариантного скалярного произведения в 2)+ (см. п. 5 § 2). Ортонормированный базис состоит из функций
[-/(/" П-!+?) ]2 -оо<л</-е.
Поэтому матричные элементы унитарной матрицы представления Т* (g) имеют вид
tb + (g) = Г г ^" m + 1)1 (- l~n') ] 2 е- i (т'<(> + л'ф) тг /ch Т\
тл L Г(/-и'+1)Г(-/-т') J т т'л'' ¦'*
где m'=m-\-&, п'=п~\-е, —оо<^m, п^1—е. Заметим, что ?+ (g) = е~in'{v + ф) %п. (ch т).
322 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) [ГЛ. VI
Аналогично, матричные элементы унитарной матрицы представления 77 (g) имеют вид
ft~(g) = Г1 L 1~.т. + 1Л 2 е- i (m'<p + л'ф) тг т\
Lmn^> Lr (— / — И') Г (/ — /П' -h 1)J ”ш'л' ' ¦'*
где — I — е ^ т., п<^ оо.
§ 4. Функциональные соотношения для ф^,„(сЬт)
1. Теорема сложения. Теорема сложения для функций $^,„(chx) напоминает теорему сложения для функций Plmn(cos 0), доказанную в
п. 1 § 4 главы III. Для вывода теоремы сложения воспользуемся
соотношением
'/xto^)='/xta)'/xfe), (1)
из которого вытекает, что
со
^л(йй)= Ц *&,(&)• (2)
k — — со
Применим равенство (2) к матрицам gi=g-(0, х1; 0) и g% = = g(?i> т2, 0). Для этих матриц Umk (gi) = (ch xt) и tlm(g%) = = e—ik'ifa(chт2), где k'=k-\-e, т'=т\г, nr = n-\-z (cm. n. 2 § 3). Матричный же элемент ^n(gig2) имеет вид
Цпп iSiSi) = 1 (т'? + Л'Ф) ¦i'm'n' (ch т)> (3)
