Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Л — (ОО
где —1 Re(X—[л)<^1, взаимно обратны при всех лг^>0.
Из формул (17) и (19) п. 2 § 3 вытекает, наконец, что взаимно обратны интегральные преобразования
а + (оо
Ф(л) = 2^7 Я rGi-XH^FGOdp, (7)
а — (оо
где а Re X, л: О и
ft-f~ *оо
F(X) = 2^i § (8)
ft — (оо
где ?^>ReX, jt^>0. Эти преобразования устанавливают связь между функциями F(k) и Ф(Х) в полуплоскости ReX<^a.
Точно так же из формул (16) — (18) п. 2 § 3 следует, что взаимно обратны интегральные преобразования
а 4- ioo
*(>-) = 2^7 $ Г(Х-,х)(^Г х/-'(-)Ф. (9)
а — (оо
где a<^ReX, лг^>0, и
ft 4-(оо
/•'(>0 = 2Л [ TiX-tii-ixr'FMdv., (10)
ft — ГСО
где ?^>ReX, лг^>0.
§ 6. Разложение квазирегулярного представления группы МН (2)
1. Квазирегулярное представление группы МН(2). Обозначим
через ?а пространство функций f(x) на псевдоевклидовой плоскости,
для которых
1|/||2 = $ |/(х) |а^х<-[-оо, (1)
где d\ = dxdy при х = (лг, у). Полагая
ife)/(x)=/fe“1x), (2)
§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ КВАЗИРЕГУЛЯРНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МН(2) 283
где g?MH(2), мы получаем квазирегулярное представление группы МН(2). Это представление унитарно относительно нормы (1).
Чтобы разложить представление L(g) на неприводимые, сделаем
преобразование Фурье функции /(х), записав его в виде
F(y) = \f(x)eilxy]dx. (3)
Легко показать, что при этом операторы квазирегулярного представления L(g) переходят в операторы вида
t(g)F(y)=eilby]F(y„a), (4)
где g=g(b, а) и у_^ — точка, в которую переходит точка у при гиперболическом вращении:
у[ =у\ ch а — у2 sh а,
= —yt sh а -|-_у2 ch а.
Представление L(g) разлагается на неприводимые точно так же, как это было сделано в § 5 главы IV для группы евклидовых движений. Только вместо пространств функций на окружностях с центром в начале координат мы рассмотрим пространства функций на гиперболах [у, у] = С. Именно, обозначим через пространство
функций
Fr (Ф) = F (R ch ф, R sh ф), —co<^R<^ со,Щ ф О,
таких, что
ОО
^ | F (R cli ф, R sh ф) |2 й?ф<^ -(- оо,
— ОО
а через обозначим пространство функций вида
(ф) = (/?shф, ЯсЬф), — cx><tf<cx>, R^O. (5)
Легко видеть, что все эти пространства инвариантны относительно операторов (4). В соответствии с этим мы получаем разложение представления L(g) на неприводимые представления вида
Lr ig) Fg (ф) = ((]) _ а)> (б)
Lr fe)^’0W = в,л(6“|,4'-6*с|,+1^1(Ф — (7)
где R пробегает лучи (0, оо) и (— оо, 0) и
У =g(b> a)z=g(b1, Ьг, а).
Мы имеем
ОО 00
Ш= SL$(g)RdR + 5 W(g)RdR. (8)
— оо — со
284 ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА [ГЛ. V
В самом деле,
l|^ll* = Sl^O)l,rfy =
ОО 00
= S RdR 5 \F(Rchty, R sh ф) |2 -(-
— 00 — 00 .
00 00
+ 5 RdR \ \F(Rshty, /?ch ф)I*d<]). (9)
— 00 — 00
Если строить представление L (g) не в пространстве функций с интегрируемым квадратом, а в пространстве обобщенных функций, то помимо компонент (6) и (7) в разложение войдут еще компоненты, соответствующие пространствам функций на лучах (у, у), (у, —у), (—у, у), (—у, —у) и в точке N(0, 0). Эти компоненты являются приводимыми представлениями. Разложение их на неприводимые осуществляется с помощью преобразования Меллина.
2. Интегральные преобразования. Пусть /(х) — бесконечно дифференцируемая финитная функция и F (у) — ее преобразование Фурье:
^ (у) = § /(х) ег lx’yl dx. (1)
Положим
fi(r> <p)=/(rchcp, г shcp), А (г, <р) =/(г sh ср, г ch ср),
/3(г, ср)=/( — г ch ср, — г shcp),
Л (г> ?)=/( — г shcp, — г ch ср),
где 0 г со, — оо 0< со.
Аналогичными формулами определяются функции Fk (R, ф), 1 sg:
^?^4. Таким образом, функции /у(г, ср) совпадают с /(v) в одном из квадрантов и равны нулю вне его. Аналогичный смысл имеют функции Fj(R, ф).