Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Различные неприводимые представления играют важную роль в квантовой механике, поскольку они служат для характеристики наборов состояний, имеющих одни и те же правила отбора, поведение во внешних полях и т. п. С точки зрения чистой математики изложенная выше теория, основы которой были заложены в работах Фробениуса, Бернсайда и Шура, является одним из наиболее изящных разделов алгебры. Характеры представлений имеют также отношение к некоторым интересным проблемам теории чисел, которые в настоящей монографии не обсуждаются.
Глава 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ТРУППЫ
1. До сих пор мы имели дело только с конечными группами, т. е. с группами с конечным числом элементов. Наши три групповых постулата (ассоциативность, существование тождественного элемента и обратных элементов) можно также применить к бесконечным группам, т. е. к бесконечным множествам элементов. Например, трехмерные вещественные ортогональные матрицы, представляющие вращения в пространстве, составляют систему объектов, удовлетворяющих групповым постулатам, если только в качестве группового умножения берется матричное умножение; в этой системе объектов два последовательных вращения снова дают вращение, произведение первых двух. Подобная группа состоит из всех трехмерных матриц с определителем 1 или с определителями +1 и т. д. Все эти группы называются бесконечными группами, в противоположность конечным группам, рассмотренным ранее.
Если не требовать ничего больше, кроме свойств групп, обсуждавшихся выше, то понятие бесконечной группы включает с точки зрения наших целей слишком много. Например, все двумерные матрицы с определителем 1, элементами которых являются рациональные числа, образуют такую группу. Но такая система лишена свойств непрерывности, которые мы хотим предположить. Поэтому мы ограничим наше обсуждение бесконечных групп непрерывными группами. Непрерывная группа есть система объектов, называемых элементами группы, которые могут характеризоваться параметрами, изменяющимися непрерывно в некоторой области. Всякий набор значений этих параметров внутри этой области определяет элемент группы; и, наоборот, каждому элементу группы соответствует набор значений параметров внутри определенной области. Эти области называются пространством группы, между элементами группы и точками в пространстве группы имеется взаимнооднозначное соответствие.
Элементы группы, параметры которых незначительно отличаются друг от друга, называются „соседними". Если параметр меняется непрерывно, то мы говорим, что элемент группы меняется
Непрерывные группы
109
непрерывно. Три групповых постулата остаются справедливыми, будучи дополненными требованием непрерывности, в силу которого постулируется, что произведения и обратные элементы соседних элементов также должны быть соседними.
Примем, далее, что параметры pl(RS), p2(RS)...........pn(RS)
произведения являются по крайней мере кусочно непрерывными и дифференцируемыми функциями параметров рх (/?), p2(R),
..., pn(R) и рх (5), p2(S)....... р„ (S) двух сомножителей R
и S. Это также требуется от зависимости параметров Р2 (Я-1).....Pn{Rот параметров элементов R.
Группы, элементы которых могут быть заданы п параметрами, называются «-параметрическими группами. Область изменения параметров может быть односвязной или многосвязной или может распадаться на несколько несвязанных областей. В последнем случае мы говорим о смешанной непрерывной группе, в противоположность просто непрерывной группе, для которой область изменения параметров связна.
Рассмотрим, например, группу вращений в трехмерном пространстве— трехмерную группу вращений. Элемент группы — вещественная трехмерная ортогональная матрица — может быть характеризован, разумеется, заданием ее девяти элементов. Однако они не могут рассматриваться в качестве параметров, так как они не меняются независимо, но связаны некоторыми соотношениями. С другой стороны, если вращения характеризовать азимутальным углом Ф, полярным углом 0 оси вращения и углом вращения <р, то каждой тройке значений этих чисел, лежащих в определенных областях (0<Ф<2я, 0<е<я, 0<<р<я), соответствует некоторое вращение. Обратно, каждому вращению соответствует набор значений этих параметров ‘).
Единственным исключением является вращение с <р = 0, т. е. вращение, которое, собственно говоря, не является вовсе вращением, а представляет неизменное положение, или тождественный элемент группы. Оно соответствует всякой тройке параметров Ф, 6, 0, так что соответствие между этими параметрами и таким элементом группы не является однозначным. Для преодоления этой трудности можно было бы считать, что область изменения других параметров, Ф и 0, сжимается до нуля при <р = 0. Аналогичным образом следует положить Ф = 0 при 0 = 0. Тогда соответствие между вращениями и тройками параметров становится однозначным. Рассмотрим, однако, непрерывную последовательность вращений на все меньшие и меньшие углы вокруг произвольной оси, т. е. вращения с параметрами Ф = Ф0, 0 = 0О, <р = Uр0, где t изменяется непрерывно.
