Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что единственный элемент группы <36 соответствует каждому элементу группы <??. Наоборот, определенные элементы группы & соответствуют каждому элементу группы 3/6\ это соответствие не является, однако, одно-однозначным, а я-однозначным, так как каждый элемент 3/6 соответствует точно я элементам <??.
Элементы Е, G2........Gn образуют инвариантную подгруппу ^
(ранее они были обозначены через Е, Е2, Е3...........Еп)\ каждый
из других комплексов, обозначенных скобкой, образует один и§
88
Глава 8
смежных классов по этой подгруппе, соответствующей каждый одному элементу группы Ц?.
Умножение некоторого элемента группы $, соответствующего //,, на элемент, соответствующий Hj, дает элемент, который соответствует Н1 • Hj. Перемножение всех п элементов, соответствующих Ht, со всеми п элементами, соответствующими Hj, дает п элементов, которые соответствуют Ht • Hj, каждый п раз. Группа е№ в сущности совпадает с фактор-группой инвариантной подгруппы Е, G2......Gn. Она изоморфна этой фактор-группе.
Всякая группа, очевидно, изоморфна сама себе. Всякая группа также гомоморфна на группу, состоящую из одного лишь тождественного элемента Е. Элементу А соответствует тождественный элемент Е, а элементу В — также тождественный элемент Е. Таким образом, произведение АВ соответствует также произведению ЕЕ = Е. В этом случае инвариантная подгруппа охватывает всю группу.
Всякая группа подстановок гомоморфна некоторой абелевой группе. Этот гомоморфизм может быть построен, если каждой подстановке поставить в соответствие ее определитель. Что это дает в случае группы (7.Е.1) предыдущей главы?
На этом мы заканчиваем изложение абстрактной теории конечных rpyw; затем мы перейдем к теории представлений групп. Далее мы обсудим непрерывные группы. Наше рассмотрение было ограничено началами абстрактной теории групп, которая необычайно проста в своей аргументации. Подробное изложение можно найти в „Теории конечных групп" Спайзера и в „Алгебре" Вебера. Здесь мы рассмотрели только те вопросы, которые существенны для дальнейшего изложения и для приобретения навыков при использовании теории групп ]), и не будем далее обсуждать эти вопросы.
') Из более поздних руководств по теории групп можно указать книгу:
Н. Zassenhaijs, Theory of Groups, New York, 1958.
ч Г л а в а 9
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Представление1) группы есть группа матриц2), которой гомоморфна представляемая группа. Таким образом, оно состоит в сопоставлении каждому элементу группы А такой матрицы D(А) или просто А, что
D (A) D (В) = D (АВ) (9.1)
имеет место для всех матриц D. Если все матрицы, сопоставленные различным элементам группы, различны, то группа матриц изоморфна группе, которую она представляет, и представление называется точным. С другой стороны, если более чем один элемент группы соответствует одной и той же матрице, то те элементы, которые соответствуют той же матрице, что и тождественный элемент, образуют инвариантную подгруппу (как было отмечено в предыдущей главе). Тогда рассматриваемое представление является точным представлением фактор-группы этой инвариантной подгруппы, но неточным представлением всей группы в целом.
Наоборот, неточное представление полной группы может быть построено из любого представления фактор-группы. Элементами фактор-группы являются смежные классы по инвариантной подгруппе. Приписывая всем элементам определенного смежного класса группы одну и ту же матрицу, представляющую этот смежный класс как элемент фактор-группы, получаем неточное представление полной группы.
Всякая группа матриц является, очевидно, своим собственным точным представлением'. Ясно также, что каждому элементу группы
') Точнее: .представление линейными преобразованиями”. г) Под „группой матриц" мы понимаем здесь группу квадратных матриц, т. е. матриц; строки и столбцы которых пронумерованы одинаковым образом; эта нумерация должна также быть одинаковой для всех матриц данного представления. Эти правила будут соблюдаться для всех матриц представлений.
90
Глава 9
можно сопоставить матрицу (1) и получить тривиальный гомоморфизм любой группы на группу, содержащую только тождественный элемент. В примере (7.Е.1) мы имеем точное представление симметрической группы трех объектов. Еще одно, но неточное, представление той же самой группы получается при сопоставлении каждому элементу группы — матрицы, записанной под ним:
Фактически — это точное представление фактор-группы инвариантной подгруппы Е, D, F. Эта фактор-группа состоит из двух элементов: инвариантной подгруппы Е, D, F и ее смежного класса А, В, С. Матрица (1) сопоставляется первому элементу факторгруппы, а матрица (—1) — второму.
Число строк и столбцов матрицы представления называется размерностью представления. Исходя из заданного представления, можно составить новые, применяя одно и то же преобразование подобия ко всем матрицам группы. Поскольку преобразования подобия не затрагивают свойств матриц относительно умножения, природа представления в целом при этом не меняется. Два представления, которые получаются одно из другого этим способом или, иначе говоря, которые могут быть преобразованы одно в другое, называются эквивалентными. Эквивалентные представления рассматриваются по существу как одинаковые.
