Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
‘) Таким образом, волновая функция меняется двояким, существенно различным образом. Во-первых, она непрерывно меняется со временем, согласно дифференциальному уравнению (6.1), и, во-вторых, — скачком во время измерений, производимых над системой в определенные моменты времени, согласно заколам теории вероятностей (см. последующее обсуждение).
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 65
эту величину называют вероятностью перехода из состояния ср в состояние Если известна вероятность перехода волновой функции во всякую функцию, то тем самым задана вероятность всех мыслимых опытов.
С точки зрения вышеизложенного особенно важно заметить, что вероятность перехода имеет физический смысл и поэтому должна иметь одно и то же значение при двух эквивалентных описаниях одной и той же системы.
3. Переход к новой „системе координат". Пусть G, G', G" •••—операторы, соответствующие различным физическим величинам, как энергии, импульсу, координате и т. д., а срр ср2, ... — волновые функции различных состояний. Тогда те же самые результаты, которые получаются с помощью этой системы операторов и волновых функций, можно получить с помощью системы операторов
G-UGIT1, G' = UG'U-1. G" = UG"U_I, ...
и волновых функций
cp^Ucp!, ?2=Ucp2, ?3=Ucp3.....
где U — произвольный унитарный') оператор. Прежде всего, собственные значения, определяющие возможные результаты измерений величин G и G = UGU-1, совпадают, так как собственные значения не меняются при преобразовании подобия. Если \k есть некоторое собственное значение оператора G, а — соответствующая собственная функция, то \k также является собственным значением оператора G = UGIT1, а соответствующая собственная функция равна Utft. Чтобы показать это, заметим, что из сле-
дует, что
ад* = UGU - = UG^ft = 1М* = .
Кроме того, вероятности этого собственного значения \k для величины, соответствующей оператору G в первой „системе координат" и оператору G — во второй, равны для этих двух случаев. В первом случае эта вероятность равна
КФ*. 9)Р-
¦) Унитарность оператора U определяется аналогично определению эрмитовости: требуется, чтобы для двух произвольных функций fug
(/, g) = (U/, U*).
Если fug являются векторами, то U есть матрица, и определение сводится к обычному (необходимому и достаточному) условию унитар-
66
Глава б
Во втором случае ср заменяется на U'f. а — на собственную функцию оператора G. соответствующую Xft, т. е. функцию U4V Таким образом, для вероятности во второй „системе координат" получаем
1ШФ*. и<р) I2,
что совпадает с выражением, полученным выше, в силу унитарности оператора U. Аналогично, вероятности перехода между парами соответствующих состояний cpt, ср2 и U<Pi. также одинаковы в двух системах координат, так как из равенства
(U<Pi. U«p2) = («pI. %)
следует
I (U<Pi. U<P2) I2 = I («Pi* ft)!2-
Такой переход к другой системе координат путем преобразования подобия для операторов и одновременной замены волновой функции ср на Ucp называется каноническим преобразованием. Два описания, получающиеся одно из другого каноническим преобразованием, эквивалентны. Наоборот, в гл. 20 будет показано, что два квантовомеханических описания, которые эквивалентны друг другу, могут быть преобразованы "друг в дру1а с помощью канонического преобразования (кроме, случая, когда имеет место обращение времени, обсуждаемое в гл. 26).
4. Применение теории преобразований и статистической интерпретации мы проследим на одном примере. Возьмем для этой цели доказательство Шредингером физического значения квадрата абсолютной величины матричного элемента
(*1+*2+ ••• +ХЛ')Л5==:((Ь' (xi + x2+ ••• +Xn)'^e}== XFE<
(6.6)
где N = //3 —число электронов, a JCj, х2........xN—их лг-коорди-
наты. Согласно матричной теории, этот матричный элемент определяет вероятность перехода, вызванного излучением, поляризованным вдоль оси х, из стационарного состояния в стационарное состояние Индексы Е и F обозначают энергии этих двух стационарных состояний:
(6.7)
Понятие О переходах, вызванных излучением, не имеет ничего общего с переходами, вызванными измерением и обсуждавшимися выше. Последние возникают в силу логической структуры статистической интерпретации и приводят к несколько парадоксально ввучащей вероятности существования состояния ср', если состояние системы есть ср. Она является безразмерной величиной. Излагаемые
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики
67
здесь соображения дадут вероятность того, что в течение последующей секунды атом претерпит переход из состояния в состояние путем поглощения светового кванта с энергией hw = F~E. Эта вероятность имеет размерность, обратную времени, и имеет смысл только для переходов между двумя стационарными состояниями (собственными функциями гамильтониана Н), в то время как первая была определена для произвольных состояний ср и ср'. Поскольку вероятность индуцированного перехода относится к процессу, развивающемуся во времени, она должна подчиняться зависящему от времени уравнению Шредингера.
