Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
При переводе были добавлены три новые главы. Во второй половине гл. 24 излагаются ‘работы Ракй и его продолжателей. Г л. 24 немецкого издания теперь выступает как гл. 25; гл. 26 посвящена обращению времени — операции симметрии, которая еще не рассматривалась в то время, когда готовилось немецкое издание. Содержание последней части этой главы, так же как и гл. 27, ранее еще не было опубликовано. Гл. 27 помещена в конце книги из редакционных соображений; однако следует посоветовать читателю обращаться к ней при изучении соответствующих
8
Предисловие автора
понятий в гл. 17 и 24. Остальные главы представляют собой перевод с немецкого издания, выполненный Дж. Дж. Гриффином, которому автор весьма обязан за его любезную готовность принять ряд предложений и постоянное сотрудничество. Он заменил также левую систему координат, принятую в немецком издании книги, на правую и добавил Приложение, в котором приведены использованные в книге обозначения.
Общий характер книги — подробность изложения и ограничение лишь одним предметом, а именно, квантовомеханической теорией атомных спектров — остался без изменений. Основные результаты этой теории содержались в статьях, опубликованных впервые в «Zeitschrift fur Physik» в 1926 г. и в начале 1927 г. Первоначально появление этих статей было стимулировано исследованиями Гейзенберга и Дирака по квантовой теории систем тождественных частиц. Вейль читал лекции в Цюрихе по близким вопросам в 1927/1928 учебном году. Они были в дальнейшем расширены и изложены в его известной книге.
Когда стало известно, что немецкое издание переводится на английский язык, было предложено много добавлений. К сожалению, большинство из них невозможно было принять без существенного изменения общего характера книги, а также ее объема. Тем не менее автор и переводчик благодарны за эти предложения, которые оказали им большую помощь в работе. Автор хотел бы также поблагодарить своих коллег за многочисленные полезные дискуссии о роли теории групп в квантовой механике, а также ряда более частных вопросов. Он хотел бы выразить свою глубокую благодарность д-ру Баргману, а также проф. И. фон Нейману, последнюю по счету, но не по важности.
Е. Вигнер.
Принстон, Нью-Джерси Февраль 1959 г.
Глава 1
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Линейные преобразования
Совокупность п чисел (•»,, v2, v3, .... vn) называется ге-мер-ным вектором, или вектором re-мерного пространства; сами эти числа являются компонентами этого вектора. Координаты точки в re-мерном пространстве могут быть истолкованы как вектор, соединяющий начало координат с рассматриваемой точкой. Векторы будут обозначаться жирными курсивными латинскими буквами; их компоненты будут иметь латинский индекс, указывающий на соответствующую координатную ось. Таким образом, vk есть компонента вектора (число), а v — вектор, т. е. совокупность п чисел.
- Два вектора называются равными, если их соответствующие компоненты равны. Таким образом, равенство
Вектор называется нулевым, если все его компоненты обращаются в нуль. Произведение cv числа с на вектор v является вектором, компоненты которого в с раз больше компонент v, или (c©)ft = cvk. Сложение векторов определяется правилом, согласно которому компоненты суммы векторов равны суммам соответствующих компонент, т. е. формулой
В математических задачах часто бывает целесообразно ввести новые переменные вместо первоначальных. В простейшем случае новые переменные x'v х'2, ..., х'п являются линейными функциями старых переменных хи х2, ..., хп. Иначе говоря,
v = w
(1.1)
эквивалентно п соотношениям
(« + »)* = «* + «*.
(1.2)
х[ — anJfj + . .. +
Х2 = а21Х1~\- +а2Л-
(1.3)
X —— GC . X. —I— ... —I— ОС X ,
п /II 1 I I пп п’
10
Глава t
или
Х1 aikxk'
(1.3а)
Такой способ введения новых переменных называется линейным преобразованием. Преобразование полностью определяется коэффициентами ап, ..., аПП, и совокупность этих п2 чисел, расположенных в форме квадратной таблицы, называется матрицей линейного преобразования (1.3):
Л21
*12
22
1л
*2 я
(1.4)
*я1 л2 ¦ • ¦ пп
Мы будем записывать такую матрицу более кратко в виде (a[k) или просто at.
Чтобы равенства (1.3) действительно представляли введение новых переменных, необходимо не только переменные х' выразить через х, но и выразить эти последние через х'. Иначе говоря, если мы рассматриваем xt как неизвестные в уравнениях (1.3), должно существовать единственное решение этих уравнений, выражающее переменные х через х'. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя, составленного из коэффициентов а1к:
