Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
которое выполняется при наличии произвольно сильного однородного магнитного поля вдоль оси Z. Выбор фазового множителя,
414
Глава 26
который следует из ? = (1), совпадает с выбором, который определяется выбором фазового множителя для ЧГ^ при М = |л в (26.43а), так что соотношения (26.47) выполняются для 4?^ также и без изменения фазового множителя. Они могут быть получены из (26.43а) путем применения к нему оператора О{0 я 0} и использования
трансформационных свойств функций наряду с явным выражением для Eg^o}).
Глава 27
ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И КЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, ЗУ- И 6У-СИМВОЛОВ
Коэффициенты представлений, 3./-символы и коэффициенты Рак4 все являются типично квантовомеханическими величинами. Как и все квантовомеханические величины, они могут быть истолкованы как амплитуды вероятности. Задачей настоящей главы и является подробный разбор этого.
Значение момента количества движенияl) jh и его проекции на заданное направление |ih для некоторого состояния могут быть заданы одновременно. Волновые функции ЧГ^ представляют состояния, в которых момент количества движения и его Z-компо-нента определены именно таким образом. Однако невозможно указать определенные значения одновременно двух компонент мчмента количества движения. Волновая функция состояния, для которого проекция момента количества движения в направлении Z' равна |ih, есть 0*ЧГ?. где R — вращение, переводящее Z' в Z. Однако, кроме случая у = 0, Z-компонента момента не имеет определенного значения в состоянии действительно, соотношение
= 2 ©(У) К' (27Л)
И-'
показывает, что все возможные значения Z-компоненты момента количества движения имеют, вообще говоря, конечные вероятности. Вероятность значения |i'h равна квадрату абсолютной величины коэффициента при в (27.1); иначе говоря, она равна [ 33<jr) (/?)^'р.|2. Это наиболее простое физическое истолкование коэффициентов представления. Ниже будет дана аналогичная интерпретация 3у- и бу-символов.
В области больших квантовых чисел все больший смысл приобретают классические понятия. Следовательно, должно быть возможным определение состояний, в которых моменты количества
¦) Если придерживаться более точно общих принципов квантовой механики, то следует говорить, что квадрат момента количества движения равен 1 )h2.
416
Глава 27
движения ограничены во всех направлениях узкими областями. Ниже мы покажем это. Аналогично, 2>j- и 6./-символы в пределе больших квантовых чисел должны иметь интерпретацию с помощью обычных геометрических понятий. Такое истолкование должно сделать очевидным свойства симметрии этих символов. Это действительно будет так. Однако переход от квантовомеханических величин к их классическим аналогам ни в коей мере не является простым: они приближаются к классическим пределам только при усреднении их по некоторому разумному интервалу значений по крайней мере одного из индексов. По отдельности они испытывают колебания вокруг среднего; характер этих колебаний будет описан несколько более подробно ниже.
Коэффициенты представлений
Интерпретация величин
|®(y)(/?Vv!2=[d(y)(PVv]2 (27.Е. 1)
с помощью наблюдаемых величин, которая может быть дана по крайней мере в принципе, уже содержится в предыдущем разделе. Выражение (27.ЕЛ) дает вероятность того, что Z-компонента момента количества движения равна p'h, если Z'-компонента этой величины равна цЛ, а полный момент количества движения1) равен jh. Вращение R переводит направление Z' в направление Z. Угол между Z и Z' равен {3, и, разумеется, (27.ЕЛ) зависит только от р и не зависит от остальных эйлеровых углов вращения R. Аналогичная интерпретация матрицы преобразования спина одного электрона была дана после соотношений (20.20); истолкование коэффициентов представления, которое неявно содержится в (27.Е.1), было подчеркнуто Гюттингером2).
Из указанной интерпретации коэффициентов представлений следует ряд соотношений. Наиболее очевидным из них является то, что вероятность (26.ЕЛ) симметрична относительно ц' и |х. Легко показать, что
da)(PV> = (-lf' <*(ЛФ)№'. (27.2)
Другими соотношениями, для которых квадрат неявно содержится в интерпретации величины (27.ЕЛ), являются (24.7) и (19.14).
Полагая ц = у в (27.1), получаем состояние, в котором момент количества движения параллелен оси Z'. Тогда вероятность того,
*) См. примечание на стр. 415.
s) P. Q ii 11 i n g e r, Zs. f. Phys., 73, 169 (1932).
Физическая интерпретация и классические пределы
417
что Z-компонента момента будет равна цй, согласно (27.2) и (15.27а),
есть
Я(ц) = (.^ J cos^+^-jP sin2^-2^ ip. (27.3)
Если j велико, то следует ожидать, что это выражение будет иметь Максимум около |x0 = ycosp—того самого значения, которое |л принимает согласно классической теории. Вероятность /*(|а) может быть вычислена в окрестности |л0 наиболее просто, если принять, что |x0 = ycosp есть целое число. Поскольку у велико, это ограничение не является существенным. Тогда, если |л > |л0,
