Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
= (Обращение времени) X (Смещение во времени на —t), (26.16)
причем операторы, соответствующие двум частям равенства (26.16), могут отличаться, самое большее, числовым множителем с ’модулем 1, который не имеет физического значения.
Поскольку 0 является оператором симметрии, он оставляет вероятности перехода между двумя состояниями f и Ф без изменения:
|(Т, Ф)|*=|(вЧГ, 6Ф)|2. (26.2)
388
Глава 26
Тогда из Приложения к гл. 20 (стр. 276) следует, что 0 может быть нормирован таким образом, чтобы он удовлетворял одному из двух уравнений (20.29). Обсуждение в Приложении к гл. 20 уже показывает, что он удовлетворяет второй возможности, именно той, которая могла быть исключена для всех чисто пространственных операций симметрии. Это можно также заключить из (26.1а), но это видно более ясно, если проследить ход рас-суждений в указанном Приложении. Доказательство становится наиболее простым, если набор ортогональных функций Ч^, Ч^, ... отождествить с собственными функциями гамильтониана; тогда являются стационарными состояниями. При этом 04^ будут тоже стационарными состояниями, так что Ч^ и ОЧ1, соответствуют одним и тем же значениям энергии.
Если бы первая возможность из (20.29) была применима также к оператору 0, последний был бы линейным оператором. Это приводит к противоречию, откуда следует, что для 0 реализуется вторая возможность из (20.29). Чтобы прийти к этому противоречию, снова рассмотрим произвольное состояние Ф0 и разложим его по стационарным состояниям:
Ф0 = 2<Л (26.3)
Предполагаемая линейность оператора 0 приводит к
вФ0 = 2вЛ. (26.3а)
и, так как 0ЧГХ тоже является стационарным состоянием с энергией Ех, по истечении промежутка времени t оно перейдет в состояние ехр(—iExt/ti)QWx. Следовательно, состояние 0ФО через время t становится состоянием
2а>е'и?*//*вЧГ>. (26.36)
Это состояние должно совпадать с состоянием, получаемым при применении оператора 0 к
Ф-/ = 2 а,«/г*"Ч.
Если оператор 0 является линейным, то это состояние имеет вид
0Ф_, = 2 axeiE'tlh№x, (26.Зв)
а эта функция, вообще говоря, не является кратной (с постоянным множителем) функции (26.36), так как показатели имеют другой знак. Следовательно, предположение о том, что 0 является линейным оператором, приводит к противоречию, и 0 должен удовлетворять второй возможности из (20.29); иначе говоря, функ-
Обращение времени
389
ция 0ФО с точностью до постоянного множителя должна быть равна
Так как мы можем свободно выбрать постоянный множитель в определении 0ФО> выберем его равным a*jalt так что
бФ0 = е(2«Д,) = 2Л. (26.4)
Оператор, удовлетворяющий соотношению (26.4) для любого набора величин аи а2, . .. и заданной полной ортогональной системы ЧГХ, будем называть антилинейным. Тогда он будет удовлетворять аналогичному соотношению по отношению к любой системе функций. В частности, если Ф1 = 2^х,®’х> мы имеем
аФ0 + РФ, = а ^ аД, + р 2 = S («*. + Р*J
так что
6 (аФ0 + рФх) = 6 (2 (аах + р*J ЧГХ) = 2 («*, + Р**Г 6ЧГХ =,
= а*2 с;вЧГ, + Р* 2 ЙвЧГ, = а*0Фо + р’вФ,.
Это последнее соотношение,
6(a®0 + p®i) = a*e®0+p*e®1> (26.5)
которое справедливо для любых Ф0> и любых двух чисел а, р, является обычным определением антилинейного оператора. Оно следует из того факта, что для оператора обращения времени осуществляется вторая возможность (20.29), а также из нормировки (26.4), принятой для е(2 лхЧГх). Помимо того, что оператор 0 антилинеен, он удовлетворяет еще соотношению (26.2) для любой пары функций. Оператор, удовлетворяющий (26.2) и (26.5), будет называться антиунитарным, и будет выведена нормальная форма антиунитарного оператора.
Простейшим антиунитарным оператором является переход
к комплексно-сопряженным величинам. Эту операцию мы обозначим через К. Действие К заключается в замене выражения, к которому он применяется, на комплексно-сопряженное:
К<р = ср*. (26.6)
Ясно, что оператор К является антилинейным. Поскольку
(КЧГ, КФ) = 0®г*. Ф*)**(ЧГ, фу, (26.6а)
К удовлетворяет также соотношению (26.2). Следовательно, он является антиунитарным. Кроме того, он обладает важным свойством:
К2= 1. (26.66)
390
Глава 26
В самом деле,
К2Ф = К (КФ) = КФ* = (Ф*)* = Ф.
Рассмотрим произведение U = 0К антиунитарного оператора 0 и К- Оно линейно:
U (аФ0 + p®j) = 0К (аФ0 + p®j) = 6 (а*Ф*0 + р*ф}) = = а0Ф? + рбФ* = а6КФ0 + РОК®! = aU®0 +
Кроме того, 6К оставляет абсолютную величину скалярного произведения инвариантной, так как оба его сомножителя обладают этим свойством. Поэтому оно удовлетворяет предположениям, изложенным в Приложении к гл. 20, с первой возможностью из (20.29), и, следовательно, унитарно. Отсюда следует, что всякий антиунитарный оператор, в частности 0, может быть записан в виде произведения некоторого унитарного оператора и оператора комплексного сопряжения К
