Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Равенства (24.10), (24.10а) и f24.106) можно доказать следующим образом. Введение Зу-символов в (24.8г) дает
Левая часть последнего соотношения не меняется, если переставить любую пару индексов J с одновременной перестановкой соответствующих индексов пит, сопутствующих им. Это должно быть верно также и для правой части, притом для любых значений п. Если положить все п равными соответствующим т, правая часть становится квадратом Зу-символа, причем он не меняется при перестановке любых двух j, сопровождаемой перестановкой соответствующих индексов нижних строк т. С точностью до знака это выполняется и для самих 3/-символов. Чтобы найти соотношение между знаками, можно положить л, = — ]\, л2 = jt — /3, л3 = /3. Это такой набор значений, для которого 3/-символ может быть определен особенно просто, так как вся сумма (17.27) для соответствующего s содержит лишь один член сх = 0, отличный от нуля. Фактически нам нужен только знак символа
а он содержит (—l)^1 из (24.9а) и (—I)-72 из (17.27). Следова-
тельно, знак выражения (24.Е.2) определяется выражением (— Аналогично знаки символов
перестановка первых двух столбцов символа (24.Е.2) приводит к умножению этого символа на (—1)^~-,1--,3/(—1)2;'1~2-/'1 = (—l);i 1 ;j 1 J'\ Поскольку произведения двух символов в (24.11) должно оставаться без изменения при такой перестановке, второй символ тоже должен меняться на тот же множитель при перестановке первых двух столбцов. Подобным образом перестановка последних двух столбцов дает множитель
Jt~Л+ЛД 2у3 ^з^ + Л+Л _ ^ jyi + Л + Л^
так как (—l)4-^1 = 1. Это показывает, что перестановка последних двух столбцов меняет 3/-символ на множитель (—1)^+^-+Л Это доказывает равенство первого, второго и последнего из выражений (24.10). Отсюда вытекают равенство третьего выражения (24.10) и равенства (24.10а). Назначение множителя (—1)Л-^-т> заключается как раз в том, чтобы обеспечить выполнение соотношений (24.10) и (24.10а).
Чтобы доказать (24.106), заметим, что правая часть (24.11) вещественна. Следовательно, правая часть может быть заменена комплексносопряженным выражением, а Ф* можно снова выразить через Ф с помощью (24.7). Это дает множитель (—jns—m,—КОТОрЫй может
(24.11)
(24.E.2)
(24.E.3)
определяются выражениями (—l)^-^1 ^ и (—1) н h+J\ Следовательно,
Коэффициенты Ракй
347
быть, однако, опущен, так как обе части равенства не равны нулю только при л, + п2 + п3 = 0 и /И[ + т2 + т3 = 0. Следовательно,
/ ji h h\ / ji }i Ы _ / j\ h j»\ / ji Л Л\ ^4 \2)
\—«I —n2—n3)\—mx —m2—m3J \я( n2 л3/\/я, m2m3)'
Если снова положить nx = —/t, n2 = Ji—j3, n3=J3, то знак первого символа в правой части (24.12) становится равным (—1)2А-2Л Символ в левой части также приобретает вид (24.Е.2), если переставить первый столбец с последним. Следовательно, его знак определяется выражением (—1)Л+Л+Л(—1)2Л-2/, _ ^—ly-h+h-h' Поэтому отношение первых множителей имеет знак (—1 )Л+ЛН-/*. Это доказывает изменение знака, указанное в (24.106); замена чисел п соответствующими т показывает, что абсолютные значения обеих частей (24.106) также равны. Более абстрактный вывод этих соотношений дан в статье, указанной в примечании на стр. 343.
Ковариантные и контравариантные коэффициенты векторного сложения
Связь между орбитальным и спиновым моментами, приводящая к полному моменту количества движения и данная в соотношении (24.8), может быть выражена с помощью Зу-символов:
^=(-1)1+^(т-^5)/ЩГТ2(? (24.13)
|х VP1 (A J
Показатель степени первого множителя записан в таком виде потому, что L + p* и т. — (i — S являются целыми числами. Нет необходимости указывать пределы суммирования по [i, если пользоваться условием, что все Зу-символы, у которых абсолютное значение индекса строки превосходит соответствующий индекс представления, равны нулю. Первый и последний столбцы Зу-сим-вола можно переставить с помощью (24.10). Это не вызывает никакого'изменения, если одновременно изменить знаки всех индексов строк. Кроме того, можно заменить т. — (i на v и производить суммирование также и по v. Зу-Символы будут обращаться в нуль во всех случаях, кроме р. —v — т = 0. Таким путем (24.13) можно привести к виду
4^ = 2 (—'l)i+|1+(v-5) 1/27+1 { J S LW?. (24.13a) X —v —(г/ 11
Если, наконец, заменить на (—l)2iWm, а показатели — их величиной с обратным знаком (что допустимо, поскольку они целые), то найдем
2 (—'1)5-v/27+t( J S (24.136)
tT ' \« —v — v-1
348
Глава 24
Дальнейшее усовершенствование обозначений может быть достигнуто введением понятий ковариантных и контравариантных компонент волновой функции и Зу-символов *). Ковариантным метрическим тензором, естественным образом приспособленным
