Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру - Вейль А.
Скачать (прямая ссылка):
всех п ^ 1.
§ 3. В определении суммирования Ye можно было поменять местами р и v; это
все равно, что поменять местами образующие и, v решетки W. Вообще, любая
замена образующих W приведет к другому способу суммирования. Можно также
сделать сдвиг на элемент решетки, заменив, скажем, (р, v) на (р' + ро, v'
+ v0) и затем применив Ye к р', v' вместо р, v. Вместо этого можно
заменить х на x-\-w0 в Еп(х), где Wq = \xqU vo^. Наконец, можно выбрать
подре-шетку W'a W с образующими и', v' и множество R представителей для
W/W' в W и применить к любой функции f(w) на решетке W, например к f (w)
= (х + w)-n, метод суммирования
Н ( Н е f ir + ^0") - Н ( Не Не f (r + W' + Vt/Л •
r<=R \Wf ) re=R V V ц )
III. Основные эллиптические функции, § 4 25
Все эти способы дадут один и тот же ответ для абсолютно сходящихся рядов.
Существенный этап теории Эйзенштейна состоит в выяснении того, чем они
отличаются в применении к Еи Е2.
Будем временно обозначать через Хе' любой из этих способов суммирования,
а через Е'п функцию, полученную
его применением к ряду ? (х + Имеем Е'п = Еп для
и^З, потому что тогда ряд абсолютно сходится. Далее, любой такой способ
суммирования совместим с почленным дифференцированием. Поэтому dE'Jdx = -
Е'2, dE2jdx = = - 2Ег. Значит, существуют такие константы А, В (не
зависящие от х, но зависящие от и, v), что
-?, = Ае+В, Е'2-Е2 = -А. (4)
Эйзенштейн, однако, предпочел доказать этот результат иначе (трудно
сказать, произошло ли это из-за недоверия к почленному
дифференцированию). Достаточно объяснить, как он вычисляет разность Е' -
E{] случай Е'2 - Е2 совершенно аналогичен. Заметим, что, вычисляя Е[ - Еи
можно
заменить конечное число членов ряда 2(я + ш)-1 нулями. Сделаем это для
всех членов с |щ|^Л1 и обозначим результат символом вместо ?<. Будем
считать, что |x|<Af. Символ ? , как обычно, обозначает пропуск члена с ц
= = v = 0. Имеем, таким образом,
Нетрудно убедиться, что ряд ? \хпт~п~Ц, распространенный на все и^2 и на
все w с \w\~> М, абсолютно сходится (ибо М > | х |). Поэтому на все такие
члены в формуле можно не обращать внимания. Восстановив теперь в сумме
конечное число членов с 0 < | w | М, получим
к-?,=У, *(Y. -V-r'-V).
1 1 L-ie' W L-Je W \Z-Je' W2 JLie W )
Разумеется, по определению ?e, имеем w 1 = 0, но это может нарушаться для
?е'.
§ 4. Рассмотрим теперь случай, когда есть процесс суммирования,
полученный применением со сдвигом в W. Как мы уже отмечали, он сводится к
вычислению Еп (я w0)
26 Часть I. Эйзенштейн
для Wq^W. Поскольку все функции е" периодичны с периодом 1, формула (2)
показывает, что все функции Еп периодичны с периодом и. С другой стороны,
из формулы (1) видно, что для любого целого числа т > О
Ei (х + mv) - Ei (х) =
N+m -N-l+m
-ЧГ-'(5>№)- 2 •№)}
\N+1 -N /
Правую часть этой формулы мы вычислим с помощью тождества (14) гл. II, §
7, заметив, что в обозначениях § 1
Так как \q\<l, это выражение стремится к нулю при v5-> + оо и к оо при
v6-> - со. Поэтому из формулы (14)
гл. II следует, что ei(:~~) стремится к ± ш при v6 ->
->-со или + со соответственно. Следовательно,
n / I \ / \ 2зхi&tn
Ei(x + mv) - Ei(x) = - .
Разумеется, отсюда вытекает, что та же формула верна при m <<: 0.
Окончательно находим
El(x + ]iu + vv) = Ei(x) - -^^-. (5)
Дифференцируя это тождество, получаем, что функция Е2 (и Еп для всех п ^
3) периодична с решеткой периодов W.
§ 5. Рассмотрим теперь другие процессы суммирования, описанные в § 3.
Достаточно будет разобраться с последним из них - остальные являются его
частными случаями. Пусть и\ v'- образующие подрешетки W' решетки W. В
матричных обозначениях положим
(а Ъ\
ои' v')=(u v).(c d),
(6)
где а, b, с, d - целые числа и N = ad - be ф 0. В обозначениях § 1
положим 6'=6 (и', v'Y, тогда 6'=6sgnN. Индекс решетки W' в W равен | N |,
так что любая система представителей R фактора W/W' в W состоит из |ЛП
элементов. Удобно раз навсегда условиться, что 0 входит в R. В частности,
если W'=W, то R = {0}.
III. Основные эллиптические функции, § 5 27
Применив к Е\ метод суммирования, описанный в § 3, мы получим функцию ?[,
которая задается формулой
Е[= ? Ех(х + г, o').
геЯ
Согласно (4), разность Е\ - Я, имеет вид Ах-\-В, и мы должны вычислить А
и В. С этой целью подставим вместо х сначала х-\-и, а затем -х. Так как
Ех имеет период и и нечетна, получаем
Au=Yu Ех{х-\-u-\-r\ u', v') - ? Ех(х + г; и', v'),
Г Г
2В = - ? Ех{х - г; и', o') + ? Я^* + г; и', о').
Г Г
Для любого элемента г <=W можно написать -г = г'+ + w'n г + и = г" +
а;'', где г', г" <=R и а;', ш''е Элементы г' пробегают все /? в некотором
порядке; то же верно для г". Положим теперь
w' = \Xrtl' + vrv\ w" = prV + v'v'.
Пользуясь предыдущими формулами и формулой (5), получаем
Аи=-^У*;, 2 B = ^Vvr.
и Z_i гг и La г
С другой стороны,
о = ?(r + r'+ wr) = 2 ? г + (2 |ХГ) и'+ (? Vr) o',
о = ?(г"+- г -и) = ? (w'r - и)=
=(Е ц;) и'+?>;)"'-№¦
В последнюю формулу подставим значение и, взятое из (6). Так как
