Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
213
Введем единичный вектор /'\ нормальный гиперплоскости
х{) = с:
I1 = ї'-l, = - 1. (9.94) откуда следует конкретное значение Zli:
f = ^(- g™y'<>. (9.95) Определим величину Il с помощью соотношений
- h = l% = g<li)(~- /ҐТ'Ч (9.96)
и
^ = (-- gmTkh-1^l- (9.97)
Соотношение (9.88) позволяет записать
= e^g^ = 8/ - ^pL, (9.98)
eTSgsa = 4> (9.99)
рт0
e"gso = -joT- (9.100)
При учете этих соотношений мы получим из равенства (9.97) ^0 = (-- g°T'/'h + gy%. (9.101)
а равенство (9.93) приобретает вид
^ = J k- h + SroerX] d*x. (9.102)
Нам требуется, чтобы выполнялось равенство dt]jdx° Н]. Это можно осуществить, записав для гамильтониана следующее соотношение:
H=J [(- S0T7' + SroersSVsI d*x (9.103)
при
h. &eL\ = h. h. e"Lws) = er%.
Величины L и SHts содержат члены, зависящие как от гравитационного, так и от других полей и вещества, причем только от их внутренних переменных. Из стандартного определения гамильтониана получим в случае гравитационного поля
Hq = J{*rsgrs.о-J?a VcrIr) d*x, (9.104) 214
Глава (і
где H0— гравитационный гамильтониан. Используя выражения (9.87) и (9.90), можно представить гамильтониан (9.104) как
"о = / [ёг, о + "^f) d3x + і / V'~g {(erseab-e'°esb) X
X lg„. ugu0 - (gn, s + gsx, т) Г0] X
X -^5- Irte6l „ ~ (ga9, b + gb?, a) —
— g^, ,g.p. 1 [W^t-g^g4*) g" -2 WgtsvgV) ГЛІ d3x.
(9.105)
Первый интеграл в правой части равенства (9.105) можно с помощью выражений (9.91), (3.29) и (9.100) переписать как
/""(^.0 + ?*3* =
- / { (- ff00)"' (~ gy'k [gragsb - \ grsSab) +
+ ga,euv Wsgrs, v - 2 Wsgrv), s] I d3X. (9.100)
Дирак предложил метод исключения скоростей и приведения оставшейся части выражения (9.105) к каноническому виду (9.103). Исследование второго подынтегрального выражения в (9.105) показывает, что оно не может дать никакого вклада вида gruersS/C's, где величина CTCs является функцией лишь gTS и grs,j. Поэтому нужно вычислить только вклад в (— (ЖL. Так как величина L зависит лишь от
внутренних переменных grs и grs,j, она может быть вычислена в предположении gln = 0. Детерминант g можно представить через 3g (детерминант grs) как gg{)0 = 3g. Отбрасывая интеграл по поверхности, получаем
H= J { (3gy'h (graZsb - j grsSab) +
+ T (?)'' grs. *gab, V К/"6'0 - e"eab) f* + — eTaebu)esv) +
+ [(?)''' grs, и - erUeSV)], V + <s№ML } +
+ g,n^mv Wsgrs, V - 2 WsgrvX s + Wmv]] (9-107) Избранные вопросы общей теории относительности-
215
где величины JfC ML и ^Mv представляют собой части гамильтониана негравитационных полей и вещества, соответствующие составляющим JAJL и JJCs в выражении (9.103). Таким образом, остается лишь шесть степеней свободы, соответствующих компонентам gtj, так как пи-0 обращаются в нуль вследствие видоизменения J2?q, которое подбиралось именно так, чтобы величины (9.84) обратились в нуль. Также соотношения (9.103) вместе с требованием [тсіі0, Н\ — 0 приводят к обращению в нуль величин JJC L и -JfCs вследствие наложенных связей.
В приближении слабого поля гамильтониан с точностью до членов порядка (Aliv)2 включительно можно записать в виде
Н= I - І + T ^r, ^rs, а - і ff г„ ug„. . +
+ Y grs, rSuu, s — 4 Sгз, aRru, s + efCMl) ^x —
- / [(- ffoo)" Vj - 1 ] (Srs, rs - grr, ss - ^ мд d3X -
- f gr0 (2< , - mMr) d*x. (9.107a)
Интеграл действия для частицы с массой покоя m равен
— m S ds= ~m{V- dTt
где у11 — координаты частицы. Тогда
, л/ dy» dyv
lP = -mV -JT ITT'
Величина dy°/dT= 1 не является динамической переменной. Импульс Pr дается формулой
р-тР WJyLYlh
rT-mS^T dT \ Safi дТ дТ ) '
Частица обусловливает вклад в гамильтониан, равный
Hm = PУ-Lm. Эту величину можно записать в виде
Hm = - gtQe"Pr + (- *«Т'А (/к2 + ^sPrPjK 216
Глава (і
Из выражения (9.103) следует, что
= № + ' У).
Ж'Мг=~ РМХ -У).
Другой подход к гамильтоновой формулировке общей теории относительности был развит Лрновиттом, Дэзером и Мизпером. Их результаты состоят в следующем ').
Выла получена каноническая формулировка общей теории относительности, в которой фигурируют лишь две пары взаимно сопряженных переменных, не подверженных связям. В интеграле действия
I= J Y^RdtX
подынтегральное выражение в первом порядке записывается как
+2^, ,,-2 { eg)1' [(- ГГН / + giF) g0me?')U ,
(9.108)
где _
= YzrS O1V - glm еиет>,
причем ei! — матрица, обратная gtJ\ величина 3R построена при использовании лишь g^; я есть след тс/, а чертой обозначается ковариантпая производная относительно метрики gtj. Варьирование этой функции действия позволяет получить все обычные уравнения гравитационного поля Эйнштейна в форме Палатини. При варьировании па границах мы приходим к генерирующей функции
о = /(- Vj*''+7Y^1V3*.
где члены, содержащие тензор энергии — импульса натяжений
JVliTil 'Sjc111 обращаются в нуль в силу уравнений
') Эта часть с незначительными изменениями является по существу перепечаткой письма Арновитта, Дэзера и Мизнера [35] в редакцию журнала Nuovo clmento. Перепечатано с разрешения авторов и журнала. Избранные вопросы общей теории относительности-
