Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1 OTm дТаі
.....-1---- = 0. (9.24)
с dt dx' '
Решения в случае слабого поля (7.13) имею; вид
40 r(T'X,,d3*'
tPoo :
C1 J \r — r'\
4G г (T',) d\K'
_20 д» г (T^)3taJcWdW V?— Cti Ot2 J Гг — г' I Избранные вопросы общей теории относительности-
189
При малых скоростях (г>/с 1) в этом приближении можно ограничиться лишь ср00 и ер(1/. Тогда из формул (7.2) и (7.10) следует, что
^oo--I+ItPoo- Slk- V*' (9.26)
/гоі~? ш- (9-27)
В следующем приближении мы должны принять во внимание закон 7^.,, = 0. Отсюда и из равенства (3.38) получим
дТ
(IV
r+rf/n + r'a)r = 0. (9.28)
ox
Это выражение мы перепишем как 1 г) 7"00 , д Toi
7 ~дГ + + + = 0 (9-29)
и
()7''* дТ'°
+7^+ + r^7"* = (9-3°)
Теперь мы покажем, что последнее соотношение представляет собой уравнения движения в ньютоновском приближении. Будем снова иметь в виду, что при малых скоростях TiJ. Учитывая это и сохраняя лишь члены первого порядка, получаем
д , OTik Gp1, г (Т')п tfV
--------V (9.31)
dt ^ ' дх" с2 J і г ¦— т' I
где рм—плотность массы вещества, измеренная в его локальной системе покоя. Первое слагаемое характеризует здесь инерцию, второе равно силе, действующей на единицу объема и обусловленной пространственными производными давления. Последнее слагаемое — градиент гравитационного потенциала.
Уравнение геодезической для частицы можно вывести, следуя Папапетру [10]. Проинтегрируем сначала соотношение TlivJv = 0 по всему трехмерному пространству, используя равенство (3.76). Поверхностные интегралы могут быть отброшены ввиду того, что наша частица локализована, и мы получим
г)
дх°
f Г* У-g&x= - f Г%Г? V~ 'g d-x. (9.28А) 190
Глава (і
Проинтегрируем теперь по трехмерному объему произведение гГ";, = 0. Отбрасывая вновь поверхностные интегралы, получаем
= J T^ Y~g d3x - f xV\?r? Vz^g dH. (9.28Б)
Так как подынтегральные выражения здесь отличны от нуля лишь в малой области, целесообразно представить Tlir1 в виде ряда
Г% = 0^ + 0^,,3**-+- ....
Поставленный слева от величин индекс 0 указывает, что их следует брать в точке расположения частицы. Теперь следует учесть структуру частицы. Папапетру определяет частицу типа единичного полюса как случай, когда из интегралов J" T'" Y~~ S <Рх лишь некоторые отличны от нуля. Для дипольиой же частицы отличны от нуля по крайней мере некоторые из интегралов
f rv8xp У— gd3x и
J* Tliv У—gd3x. Обобщение этих соображений на случаи
высших порядков мультипольности очевидно. Когда частица представляет собой „монополь", то достаточно учесть лишь первый член в разложении Tlia,. Тогда соотношения (9.28А) и (9.28Б) дают
JL- J Г° y~g d3x -+- Г,, f ^v V^g a3x = О (9.28В) и
J Г3 y^~g d3x = -g- f Т?0 У^ d3x. (9.28Г)
Пусть в соотношении (9.28Г) ? =¦ 0; это дает через четырехмерную скорость Uci = Ul) ((Ix^Idxb)
f Tm y~g cfx = m -g- = m{iU\ (9.28Д)
Положим массу покоя равной
то = ({У0)~1 f Tm V^d3X. Избранные вопросы общей теории относительности-
191
Подставляя (9.28Д) обратно в (9.28Г), получаем
/ Т*? V~gd3x = -J- muU'U*. (9.28Е)
Теперь можно подставить (9.28Е) в равенство (9.28В). Если учесть также соотношение (9.28Д), то мы придем к знакомому уравнению геодезической
~ + I VA/^O. (9.31 Л)
Рассмотрение дальнейших членов разложения позволяет получить уравнения движения для частицы типа диполя. Ее спин определяется выражением
Ґ = / SxV' У'^сРх - f Ъх'т* <1лх,
и уравнения движения для Г' имеют вид
I^L UaUr -V- — U-U9 - -- = 0. (9.31 Б)
TiS 1 р OS ? OS у '
Здесь, как н в гл. 8, символ о/оs означает ковариантное дифференцирование но s.
LIJнфф [11] исследовал с помощью уравнений (9.31Б) явление прецессии гироскопа, удерживаемого пегравнтацпон-ной силой связи F, в гравитационном поле Земли. В низшем порядке он пришел к выводу, что измеряемый сопутствующим наблюдателем вектор спина /1> должен удовлетворять уравнению
ЗНЫг"*«+®^*«+
+^-(з<«> »)]• XA']. (3.31В)
В уравнении (9.31В) v — скорость гироскопа, J—момент инерции Земли, м- ее угловая скорость вращения и г радиальная координата. Первое слагаемое справа описывает, согласно специальной теории относительности, прецессию Томаса, второе и треті,с слагаемые дают общерелятнвистский эффект, В случае гироскопа на поверхности Земли ожидается прецессия порядка 10 радиан в день. Наблюдение таких эффектов в случае проведения экспериментов на Земле или 192
Глава 9
на искусственном спутнике дало бы новый способ проверки общей теории относительности. Довольно близкие методы предлагались (но не были опубликованы) Ферреллом [12] и позднее Пью [13].
Оказывается возможным вывести уравнения движения изолированных масс чисто геометрическим путем [14, 15], пользуясь лишь левой частью уравнений поля. Многие авторы получили высшие приближения уравнений движения, включающие эффекты излучения [16.....18].
3. Принцип Маха
Принцип Маха утверждает, что свойство инерции полностью обусловлено взаимодействием материи. Таким образом, требуется приложить силу для того, чтобы сообщить некоторой частице ускорение относительно всей другой материи во Вселенной. В общей теории относительности по крайней мере часть центробежной силы вызывается взаимодействием. Рассмотрим пространственные компоненты уравнения геодезической линии, сохраняя члены порядка (vjc)2:
