Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2
3. Метрический тензор в искривленном пространстве и в ускоренных системах
Искривленное двумерное пространство на поверхности сферы описывается квадратом липейиоіо элемента
^liv сіх1" dx" = г2 (id2 + г2 sin2 О df,
(2.6)
г2 О О г2 sin2 О
Сумма углов у треугольников, образованных дугами больших кругов, больше 7г її меньше Этот неевклидов, искривленный характер такого пространства через метрику (2.6) отражен во всех соотношениях, содержащих производные от AriLV- ^e существует преобразований координат, приводящих (2.6) везде к диагональному виду с одинаковыми1 диагональными элементами. Позднее понятие кривизны будет нами рассмотрено более подробно.
Рассмотрим теперь плоский треугольник в иперциальпой системе. Форма этого треугольника может меняться при его наблюдении в различных инерциальпых системах, однако сумма углов всегда будет раина т., и геометрия останется прежней.
Возьмем набор точек, лежащих па одной окружности в иперциальпой системе отсчета. Наблюдая их во вращающейся системе отсчета, ось которой проходит через центр окружности, мы обнаружим, что отношение длины этой окружности к ее диаметру зависит теперь от нашего метода измерения длины. Избегая здесь обсуждения проблемы синхронизации часов во вращающихся системах, предположим, что длины измеряются путем совмещения пар точек, а для определения одновременности применяются часы иперциальпой системы. Отношение длины окружности к ее радиусу, измеренное с помощью масштабов, покоящихся вр вращающейся системе, окажется меньше 2тс. Это происходит оттого, что твердая масштабная линейка будет мерой прежнего диаметра, а при ориентации, касательной к окружности, она подвергнется лоренцову сокращению. Метрический тензор во вращающейся системе в этом случае должен описывать неевклидово искривленное пространство.
') По модулю, но с обычной сигнатурой. — Прим. ред. Обобщение частной теории относительности
39
R инерциальной системе мы можем но всем пространстве разместить совокупность покоящихся синхронизированных часов. Во вращающейся системе часы, расположенные на различных расстояниях от осп вращения, будут обладать различной скоростью хода. Тождественные часы па различных расстояниях от оси подобны тождественным часам в различных инерциальных системах. Синхронизовать их невозможно. Пусть времеппйя координата измеряется с помощью сигналов, испущенных часами на оси вращающейся системы. Находящиеся в каждой точке вращающейся системы часы измеряют интервалы времени для наблюдателя в этой же точке. Отношение между этими интервалами и проме>кутками координатного времени, соответствующими приему наших световых сигналов, описывается через ^„„-компоненту метрики jf Эта величина зависит теперь от радиуса, так что метрика (2.5) специальной теории относительности теряет силу ').
Эквивалентность гравитационного поля ускоренной2) системе тогда приводит к тому, что частная теория относительности оказывается неприменимой в протяженных областях |4|, где присутствует гравитационное поле. Возникает необходимость ввести метрику искривленного пространства. В качестве другого примера мы построим в иперциальпой системе треугольник, стороны которого образованы световыми лучами. Сумма его углов равна тс. Вели произвести такое же построение в гравитационном ноле, то стороны нашего треугольника искривятся вследствие влияния гравитации на энергию фото-
') Метрика, соответствующая вращающейся системе, имеет вид — Js2 = dr2 -Ь г2 r/'f2 }- <lz2 +- 2шг2 d-f dt — (с2 — ш2г2) dt2.
2) Следует сделать некоторые замечания о парадоксе часов. В первой статье Эйнштейна но электродинамике движущихся тел было отмечено, что если пз двух тождественных часов одни все время покоятся в инерциальной системе, а другие, описывая замкнутый путь, возвращаются в ту точку, где находятся первые, то их показания не будут после этого совпадать. Рассмотрим теперь двух близнецов. Одни из них пусті, остается в иперциальпой системе, а другой улетает на ракете и затем возвращается. Этот путешественник по возвращении обнаружит, что оставшимся дома брат стал старше его. Дарвин показал [2], что эта проблема вполне понятна уже в рамках специальной теории относительности, так как периоды ускоренного движения ракеты могут быть непродолжительны, время же равномерного движения — чрезвычайно большим. Таким образом, результат не может зависеть от процессов, про- 40
Глава '2
по». Тогда сумма углов треугольника будет отличаться от Коварнаптпая теории описывает это обстоятельство, утверждая, что пути световых лучей всегда являются геодезическими линиями и что в гравитационном поле необходимо пользоваться метрикой искривленного пространства.
Выло показано [5, 6], что при соответствующем переопределении операций измерения длины и времени всегда можно использовать метрику Лоренца. Мы могли бы просто постулировать, что поверхность Земли является плоскостью. Соответственно определив операции измерения в зависимости от широты и долготы, можно было бы прийти к внутреннему соответствию с евклидовой геометрией. В нашем изложении мы этого подхода придерживаться не будем.
