Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Впервые принцип двойственности был доказан А. А. Пистолькореом в 1944 г. в форме, несколько отличающейся от принятой выше. Изложение принципа двойственности в этом параграфе базируется на статье Я. Н. Феяъда (1948 г.). Заметим, что теорема Двойственности является аналогом теоремы Бабине, известной в физической оптике. Эта теорема связывает диффракцион-ные явления на взаимно дополняющих экранах в рамках скалярного принципа Гюйгенса с подстановкой приближенных граничных значений (§ 92).
§ 95. Диффракция на прямоугольном отверстии
Исследуем излучение электромагнитных волн из прямоугольного отверстия (рис. 123,а)
—а/2<х<а/2, — Ь/2<у<Ь/2, 2 = 0, (95.01)
на котором
?0 = ?eifc*siin>o> //O= _cos O0 Beikx sin о», E0x = H0y = 0, (95.02)
где В — постоянная; до — некоторый угол. Такое поле получается, если на плоскость 2=0 падает плоская волна с углом падения Фо (§ 15). Полагая
E0 = B cos — , H011= -CosO0 В cos — , Sinfl0= — , (95.03)
у а п п
ях а
я а
получаем поле волны Ню на открытом конце прямоугольного волновода (рис. 123,6); в формулах § 41 надо положить B = \kgCm и заменить X на х—а/2.
Применим теперь формулы (93.08). С учетом соотношения
р cos Q = Isinfl cos ф + rj sin fl sin ф (95.04)
составляющие (95.02) приводят к выражениям
де = _аьв Cosfln F, Д™ = abB — F, (95.05)
и 4яг 4яг
где через F обозначен интеграл
, а/2 Ь/2
P=Z — j j е—iA(|sin 1Ї COS Ф+Т) sino sin (p)-l-iSi sin ^ (95.06) ab —а/2 —Ы 2
к которому присоединен множитель 1 lab, чтобы сделать его без-
я
Рис. 123. Прямоугольное
излучающее отверстие:
а — в плоском экране; б — открытый конец прямоугольного волновода
frX
У
а)
S)
'383размерным. Интеграл F можно представить в виде произведения FaFbl где
1 °/2 січ V
Fa= —— f e~ii5:&(sin®cosф—sin<Ы d^ = sin Л а -І/2 X
X= (sind созф—Sin1Q10),
Fb= — Y е~iAT) sin d sin tP dr] = , Y = — sin ft sin ф.
6 —0/2 Y 2
(95.07)
Заметим, что Fb получается из Fa, если заменить cos<p на эшф, iOo на нуль, а на Ь. Максимальное значение F=Il достигается при X = У = 0, т. е. при ф = 0 и ft = fto.
По формулам (93.09) и (95.05) получаем
gi kr gi kr
At = —abB-cos On cos ft F sin ?, A™ = abB- cos ft F cos ф,
0 4кг ^ 0 4я г
іkr ikr
Al = —abB -— cos ft0 F cos ?, Am = —abB — F sin q> (95.08)
ф 4nr о і-» ф 4nr \ !
и согласно формулам (93.13)
eiAr
Eb = Hm = — іkabB- (1 + cos ft0 cos ft) F sin ф,
4я г
E9 = -Hb= — і kabB — (cos ft0 + cos ft) F cos ф . (95.09)
4я/
Изучим более подробно электромагнитное поле в двух главных плоскостях: в магнитной (горизонтальной) плоскости — при ф = 0 и ф = Я и в электрической (вертикальной) плоскости — при Ф=±я/2. Названия плоскостей связаны с поляризацией набегающей волны (95.02).
При ф = 0 формулы (95.09) дают
Ev=-Hb=- і kabB — (cos ft0 + cos ft) Fa (ft), Eb=H9= 0,
4яг
(95.10)
где
Fa W= ^r ' X= kT (Sinft-Sinft0), (95.11)
X ^
а при ф = я/2
Eb=Hsc=- SkabB — (1 + cos ft0 cos ft) Fb (ft), E9=-Hb= 0,
4яг
(95.12)
'384где
Fb(O) =
sinK
л/ kb .
,F= — smi 2
(95.13)
Таким образом, функция Fa(A) определяет направленность излучения в горизонтальной плоскости, функция Fb (fl) — в вертикальной. Ход функции Fa(O) (при Ao = O) схематически изображен на рис. 124 сплошной кривой; такой же характер имеет функция Fb(O). Функция Fa(O) обращается в нуль При A = Ai, $2, ..., где угол An удовлетворяет уравнению a sin A = пК, которое можно вывести из элементарных соображений.
Перейдем « диффракции волны Hw на открытом конце ,прямоугольного волновода. Тангенциальные составляющие (95.03) приводят к тем же формулам (95.09), (95.10) и (95.12), однако вместо функции Fa получается более сложное выражение
'kJL
2 """V 2
Рпс. 124. Диаграмма направленности прямоугольного отверстия
Fa =
Sin2 cos ^ Sin # COS ф ^
Sin2 -Sin2^COS2 ф
(95.14)
а функция Fb остается той же самой.
Направленность излучения в магнитной плоскости, при ф = 0, определяется функцией
Sin2 COS
Fa т =
ka
— sin # 2
sin2 — sin2 o
(95.15)
причем
Fa (0) = 2/я, Fa (%) = 1/2, Fa (On) = 0 (я= 1.2, ...),
где углы On определяются уравнением а sin o= («+ —)Л.
(95.16)
Ход функции Fa (o) изображен на рис. 124 штриховой линией. Из рисунка видно, что функция Pa (#) дает излучение менее направленное, чем функция Га (Ф). Это вызвано тем, что функция Fa(lQ) соответствует равномерному распределению поля по отверстию согласно формулам (95.02), а функция /о (ft) соответствует неравномерному — косинусоида льному —¦ распределению (95.03). Неравномерное распределение амплитуды (амплитудные искажения) всегда снижают направленность излучения.
Полученные выше формулы для поля излучения из открытого кюица прямоугольного волновода могут быть непосредственно применены к пирамидаль-
18—240
385HoiMiy ил« секториальному pyriopy, вьбходНйе отверстие которого имеет вид прямоугольника со сторонами а и Ь. При этом сферическая или цилиндрическая волна, распространяющаяся в рупоре, должна быть преобразована (с помощью рупорной линзы) в волну с плоским фазовым фронтом. Только тогда электромагнитное поле волны на открытом конце рупора можно уподобить полю волны Hio в прямоугольном волноводе.