Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если взять т>0, например т= 1 или т=2, то этим фиксируется направление и скорость вращения электромагнитного поля в спиральном волноводе по азимуту ф и получаются по выведенным выше формулам две волны, соответствующие двум 'корням Т|~. Первая волна, имеющая т]+>0 и положительную фазовую скорость, является правовинтовой волной: ее поле ввинчивается в ось 2 как правый винт; напомним, что сама спираль предполагается правовинтовой (см. рис. 84). Вторая волна, имеющая тр-сО и, следовательно, отрицательную фазовую скорость, является лево-винтовой. Для каждой из этих волн можно вычислить величину ? по формулам
?+ = щ+ = Vl—xu/W2+(x), р- = — X/TJ- = Vl —х2/Ч2_(х),
(70.14)
причем связь между к и X дана выражением (70.13).
Полученные формулы в предельных случаях XCtgft-^-OO и X ctg ft—>-0 упрощаются и позволяют составить качественное представление о дисперсионных зависимостях.
Функция Qm при всех т удовлетворяет соотношению
Iim Qm (х) = tg2 ft. (70.15)
X ctg -Ь-*<х>
Заменяя при больших значениях х ctg ft функцию Qm (х) ее предельным значением (70.15), получаем
?± (х) = т tg2 ft ± l/"(l+tg2ft)(x2 + OT2 tg2 ft),
(х)-X2 - tg2 ft [2m2 tg2 ft+m2 -f x2±(2m/cos ft)/x2 + m2 tg2ft] »
« tg2 ft (m2/cos2 ft + X2 ± 2mx/cos ft) = tg2 ft (от/cos ft ± x)2, откуда
x=tg ft(m/cos ft±x) при'и ctg ft» 1, ft<l. (70.16)
Как будет видно в § 71, параметр х никогда не превышает единицы (обычно х<0,6), так что при т= 1, 2,... скобка в формуле (70.16) всегда положительна. Вычисляя Tjlt, достаточно взять более грубое приближение, полагая
i]±=W±(x)=mig4±x!cos®, (70.17)
поэтому по формулам (70.09) получаем
TjiO= (m/cos ft±x)/cos ft, ?±0=sinft. (70.18)
Таким образом, при xctgft»l все волны — как симметричные, так
'275 и несимметричные — имеют Po=Sinft; физический смысл этого результата будет пояснен в § 71.
При xctgft<§;l функции Qm(х) ведут себя при т=\ и при т = 2, 3,... по-разному. Действительно, в силу соотношения
IimZm(у)/Cm(у)-1/2/П (т= 1,2,...) получаем
Iim Qm (х) = tg2 ft (1 — 1/m2) при т = 2, 3,..., (70.19)
х-* 0
в то время как при m= 1 и xctgftC 1 имеем
Q1(X)= tg2ft/[ln(2/vxctgft) + 1/4]. (70.20)
Поэтому при т=2, 3,... и х->0 функция Т±(х) стремится к конечному пределу:
?± (0) = т (1 — 1/m2) tg2 ft ± т tg ft У {\—1/m2) [1 + (1- 1/m2) tg2ft]
(70.21)
благодаря чему дисперсионные кривые таких несимметричных волн обрываются при ^=I1Fi(O)I и ?±= 1 (см. рис. 89,6). При т= 1 в силу формулы (70.13)
и х-^0 при х-^0, при х-+0. (70.22)
Таким образом, две несимметричные волны с азимутальным индексом т=1 при достаточно низких частотах распространяются вдоль оси спирали со скоростью с, как симметричная волна.
При вычислениях по формулам (70.13) и (70.14) сталкиваемся со следующим обстоятельством: если взять 1Fh-(X), то величина х будет монотонной функцией X, возрастая от 1F-^-(O) при х=0 до значений х, вычисляемых по формуле (70.16) со знаком плюс при достаточно больших х. Поэтому при данных т и X^1Fh-(O) имеется лишь одна правовинтовая волна, фазовая скорость которой определяется первой формулой (70.14). Однако для функции 1F-(X) по формуле і(70.13) получается немонотонная зависимость х от х: при х=0 имеем х= I1F-(O) |, затем при росте х величина х растет, достигает некоторого максимума Xmax и при больших х убывает в соответствии с асимптотической формулой (70.16) (со знаком минус). Поэтому, хотя при данном х имеется согласно формуле (70.11) одна левовинтовая волна, при заданном х дело обстоит сложнее: при I1F-(O) | <х<хтах имеются две левовинтовые волны, при и< I1F-(O)I и K==Xmax — однэ, при Х>Хтах нєт ни одной. Для несимметричных волн с индексом т= 1 значение 1F-(O)=O, поэтому при X<Xmax будем иметь две левовинтовые іволіньі: у одной :из них ?~->-l при согласно формуле (70.22), а для другой ?o~(A;sinft в соответствии с формулой (70.18).
На рис. 88 и 89 представлены дисперсионные кривые несимметричных волн с азимутальными индексами т=1 и т=2 для спирали, имеющей Ctgft=IO (как и на рис. 87). При этом на рис. 88,а и 89,а по оси ординат отложены величины Pi по формулам 276 а) б)
Рис. 88. Дисперсия несимметричных волн спирального волновода с индексом т= 1
(70.14), а на рис. 88,6 и 89,6 — величины Pi0 по формуле (70.09) „ физический смысл которых будет раскрыт в § 71. Число и общий характер этих дисперсионных кривых находятся в согласии с проведенными выше качественными рассуждениями, в частности с формулами (70.16)-(70.22).
Исследуем в заключение структуру электромагнитного поля, двух простейших несимметричных волн с индексом т = 1 при достаточно низких частотах, когда они имеют ?«l в соответствии с формулой (70.22). Для сравнения возьмем плоскую волну с правой круговой поляризацией
Ex=Hv=Aoelk', Ey=—Hx=iA0eih\ имеющую в цилиндрической системе координат составляющие
Er=Яф=Л0е1«Р+ад Efp = -HMoei^+kzK (70.23)
Такое же поле получается для правовинтовой волны в спирали по формулам (70.01): действительно, в силу условий p<^k и ра<?. 1 при г<.а можно написать
