Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
гг
где —В1 — отрицательный остаточный член. Для того чтобы > оценить R1 сверху, интегрируем по частям еще раз:
оо оо
J3 3 „ /• Г) , 3
-* ~п j 1 —и 1 з —г —— 1 —II - —
е х 2 dx — — е и 2 г • ;т е х 2 dx < — е и -
Если (11) подставить в (10), то получится искомая асимптотическая формула
Oc^cJ .
(12)
Если желательно сделать остаток величиной порядка t~5, то нужно снова один раз проинтегрировать по частям и тогда получится
§ 2. Случайные величины. Функции распределения 23
0(t)==l~yte 2'{^-* + s” <13>
О <S,< 1 • 3 • I ¦ .
ta
Путь дальнейших уточнений ясен. В качестве множителя и ехр |i2j будет получаться частная сумма знакочере-
пр
дующегося ряда
1 1 .1-3 1-3.5 ....
t ё /5 р + • • •» (14)
и остаточный член всегда будет меньше первого из отброшенных членов.
Асимптотический ряд (14) мало пригоден для численных расчетов со многими десятичными знаками, потому что, хотя вначале члены ряда и убывают, однако в дальнейшем они начинают возрастать. Однако ван Вейнгарден1 указал преобразование, которое превращает (14) в сходящийся ряд, с успехом используемый в численных расчетах для средних и больших значений t.
В табл. 1 в конце книги табулирована функция и = ФЦ), в табл. 2 — обратная функция t = W(u). В этой книге указанные функции будут неизменно обозначаться буквами Фи1?.
Точки перегиба кривой с уравнением у = f(t) имеют абсциссы t = +1, так как вторая производная
У" = ^е-^
У У 2л
в интервале (—1, +1) отрицательна, а вне этого интервала неотрицательна. С ростом t функция f{t) очень быстро убывает. На интервал от —2 до +2 приходится более 95% общей площади, расположенной между кривой и осью абсцисс, на интервал от —3 до +3 около 99,7%, а на интервал от —4 до +4 — только немногим менее 100%. Таким образом, для всех практических целей можно ограничиться интервалом от •—4 до +4: вероятность того, что случайная величина (х — а)/с примет значение вне этого интервала, практически равна нулю.
Все функции распределения, для которых плотности вероятности задаются формулой вида (5), называются функциями нормального распределения. Постоянная а указывает абсциссу точки максимума функции f(i), а постоянная с — расстояние между проекциями точки максимума и точки перегиба на ось абсцисс. Таким образом, с является мерой «широты» кривой.
1 Von \V i j п д a a r d e n A., A transfoimation of foinial series, Proc. Kon. Ned. Akad. Amstoidam, Kcotion of’Soumo, A 50 537.
24
Гл. /. Общие основы
§ 3. Среднее значение и квадратичное отклонение
А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Среднее значение или математическое ожидание Qx случайной величины х, принимающей лишь конечное число значений tlt . . ., tn, определяется как сумма этих значений, умноженных на их вероятности:
х = Gx = 2hPk- 0)
Из определения ясно, что среднее значение х заключено
между наименьшим и наибольшим возможными значениями
случайной величины х. Среднее значение можно также определить как центр тяжести возможных значений tk с весами р1;.
Если случайная величина х имеет плотность вероятности /(/), то в определении среднего значения вместо суммы появляется интеграл:
+ оо
Sx=\tf(t)dt. (2)
—оо
В случае произвольной функции распределения F(t) интеграл (2) нужно заменить так называемым интегралом Стнльтьеса
-1 оо
?ж= [(rff(/). (3)
— оо
Общее понятие интеграла Стнльтьеса нам в дальнейшем не понадобится, так как мы вполне обойдемся специальными случаями (1) и (2); поэтому, точности ради, укажем лишь определение интеграла (3) по Фреше:
— оо
= lim ^ kh \F(kh -f К) — F(kh)\. (4)
h—>0 k=—oo
Среднее значение является специальным случаем интеграла Лебега. Л именно, если Ек представляет собой событие kh =еэс < (к -\- 1) h, то интеграл Лебега от ж в области В по мере Р(^4) определяется так:
Г оо
