Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
g-з
дг(и) = «j и 2 е
1
X2 = [д + Л — 2) s2 = х! + х\ D = х — у
(12)
(13)
(14)
(15)
Согласно (6) и (12),
Из (15) и (16) следует, что
(17)
Отношение (7) можно теперь записать так:
§ 29. Сравнение двух средних значений
153
Формула (18) полностью аналогична формуле (4) из § 28, согласно которой
* = УгЦ-- (2°)
Y и %2 так же, как ранее у1 и х2, являются независимыми случайными величинами, из которых первая распределена нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией, а вторая подчиняется распределению х2 с / степенями свободы. Следовательно, отношение t имеет то же самое распределение, что и раньше.
Таким образом, получается следующий критерий, который называют критерием Стьюдента для проверки различия средних значений:
Если абсолютная величина отношения
t\ _ Ш _ \х—у\
I S S
превышает границу t? из табл. 7, то гипотезу х — у следует отвергнуть и считать, что х > у или х< у, смотря по тому, будет ли разность D положительной или отрицательной.
Если распределения отдельных наблюдений не слишком отклоняются от нормальных и соответствующие дисперсии равны друг другу, то вероятность ошибочно отвергнуть правильную гипотезу х = у для указанного критерия равна 2/J. Если же в действительности х > у и дисперсии равны, то вероятность ошибочного вывода х < у оказывается даже меньше, чем уЗ. В случае одностороннего критерия вероятность ошибочно отвергнуть правильную гипотезу не превышает1/}.
Если одно из выборочных значений сильно отклоняется от выборочного среднего остальных наблюдений, то возникает вопрос, можно ли это отклонение считать случайным или оно является следствием грубой ошибки в измерениях и поэтому соответствующее наблюдение нужно из выборки исключить? Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться критерием Стьюдента, положив в формулах этого параграфа h = 1. Пусть уг = xg+1 — отдельное наблюдение, которое подлежит проверке, а х1г. . ., xg — остальные наблюдения. Вероятность того, что на основе этого критерия наблюдение xg+1 будет ошибочно отвергнуто, равна 2Д Если этот же критерий применить последовательно ко всем
1 В случае одностороннего критерия основной гипотезой является (или хз* у). Поэтому здесь вероятность отвергнуть правильную гипотезу существенно зависит от разности х — у. Максимальное значение этой вероятности достигается при х = у и равно р. — Прим. перев.
154 Гл. VI. Гауссова теория ошибок и критерий Стьюдента
элементам выборки xlt . . ., xg+1, то общая вероятность того, что хотя бы один элемент выборки будет ошибочно отвергнут, не превосходит 2f3(g + 1) = 2рп, где п — количество наблюдений. Если, к примеру, выбрать 2/J = 0,01, то при п = 20 вероятность ошибочно отвергнуть хотя бы одно наблюдение из двадцати почти равна 0,2. Исключение одного из элементов выборки практически не влияет на точность выводов: выборочное среднее оставшихся 19 наблюдений будет почти точно таким же, как и выборочное среднее всех двадцати наблюдений1.
Пример 17 (по км иге Kendall М. G., Advanced Theory of Statistics, vol. II, Example 21.4).
В одном классе из 20 детей были случайно отобраны 10, которым ежедневно стали выдавать апельсиновый сок. Остальные 10 человек ежедневно получали молоко. Через некоторое время было зафиксировано следующее увеличение веса детей (в фунтах):
Первая группа 4, 2% , Зу, 4, 1 \ , 1 , 3^-, 3, 2~2 , З.*-.
Вторая группа lv, 3-^ , 2^-, 3, 2-ь , 2, 2, 2 2 , 1~2 , 3.
Среднее увеличение веса на одного ребенка в первой группе равно 2,9 фунта, а во второй группе — 2,4 фунта. Значимо ли это различие средних весов-?
Находим
D = 2,9 — 2,4 = 0,5,
13,3
я2 = —— -= 0,74,
18
Sa = f-L+_LL2 = 0,148, UOMO]
D
l=_=1.30.
5%-граница для t с 20 — 2 = 18 степенями свободы равна 2,10. Следовательно, нет оснований для заключения, что различие выборочных средних вызвано различием истинных средних.
1 Указанный вариант критерия Стьюдента обычно используют в процессе эксперимента для предсказания границ, в которых будет находиться
какое-либо из очередных, еще не известных наблюдений; при этом предполагается, что известны все предшествующие наблюдения хг, . . ., хп или их часть. Для исключения наблюдений, содержащих грубые ошибки, критерий Стьюдента практически не применяется, так как для этой цели выгоднее пользоваться другими более совершенными критериями. См., например, Д у н и н - Б а р к о в с к и й И. В. и Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть), ГИТТЛ, М., 1955, гл. 8, § 4 и табл. XXIV. — Прим. перев.
