Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г
* + 2-
da.
i
С помощью этих формул находим
\ х + 1, если — 1 < х
f2(x) =
| (х 4- 1) — 2х.
если
О
если
3 1
-2<Х*—2
-31
1
если — -
(* + Ш
.'2 [(* + 1) “ Ф + I) + 3(* _ \ ) ]’
о,
X < 1 ,
Г)
(8)
О)
если
:Ж< 2
§ 25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления 131
и т. д., вообще
f"iX) = (^Л)! [(* + ?) ~ (l ) (* + 2 ~ XJ +
+
(10)
причем в сумму (10) входят все те слагаемые х + п)2, х + я/2—1, . . . , которые при данном х неотрицательны. Графики функций /г» /з и /4 изображены на рис. 16, 17 и 18. Распределение с плот-
Р II с. 1 6.
ностью f2(x) называют «треугольным распределением»: соответствующий график представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого имеет абсциссу х = 0, а основанием является отрезок [— 1, + П- График плотности f3(x) составлен из трех отрезков квадратичных парабол и очень похож на кривую Гаусса. Кривая, соответствующая /4(я), почти не отличима от кривой Гаусса.
Пример 14. «Основной аргумент» г в Сатурновых таблицах Хилла1 представляет собой сумму 24 членов, каждый из которых получают посредством интерполяции из некоторой четырехзначной таблицы. Если отдельные члены были бы вычислены более точно, т. е. с 5 или б десятичными знаками, и лишь сумма округлена до четырех знаков, то насколько этот результат отличался бы от z, вычисленного с помощью четырехзначных таблиц?
Умножением всех слагаемых на 101 можно добиться того, чтобы табличные значения были целыми числами. Если между двумя табличными значениями уп и уп+\ производится линейная интерполяция по формуле
У = Уп -1- х(уп + 1 — уп) = уп(\ — х) + уп + 1 х (0=si<1) (11)
1 Astron. Papers Amer. Ephemeris, VIII (1898), 145—285.
9*
132
Гл. V. Интегралы Фурье и предельные теоремы
и если уп и уП+1 имеют ошибки округления и и v соответственно, то ошибка у равна
w = и (1 — х) + vx. (12)
Предположим теперь, что и, v и х — независимые случайные величины, причем и и v равномерно распределены между —1/2 и +1/2, а х равномерно распределена между 0 и 1. В этом случае ги имеет нулевое среднее значение и дисперсию
1 1^
12 2
Сга = 6»2= dv [tt(l — x) + vx\2. (13)
0 _I —I
2 2
Если в (13) сначала произвести интегрирование по и и v, а затем—по х, то получим
1
if— (1 — я)2 -)------ж21 dx = — .
I ll2 12 J 18
(14)
Дисперсия ошибки линейной интерполяции в таблицах с двойным входом будет еще меньше. Однако так как у Хилла по таблицам с двойным входом получаются лишь три слагаемых из двадцати четырех, то точное вычисление соответствующих дисперспй не имеет никакого значения.
В некоторых таблицах уп на больших промежутках сохраняют постоянные значения. В этом случае и- и v уже не являются независимыми, и результат (14) не имеет места. Ошибка интерполяции оказывается приближенно равной ошибке округления табличных значений, поэтому здесь
05)
В большинстве таблиц линейная интерполяция недопустима, и нужно пользоваться квадратичной интерполяцией, например по формуле
, , , , Уп+1 — 2уп + уп-1 . .. ( 1 1
У = Уп + (Уп+1 — Уп) X н-2-х(х — 1) — 2-<ж*«2
Тогда с помощью вычислений, аналогичных указанным выше, получим несколько большую дисперсию, а именно
-'-Ж(,6)
Если квадратичная интерполяция применялась в 15 случаях, то, вычисляя дисперсию 15 слагаемых по формуле (16), а остальных девяти — по формуле (15), мы найдем для дисперсии суммы г оценку сверху. Это лишь увеличит надежность наших выводов. По центральной предельной теореме сумма 24 случайных величин распределена почти нормально с дисперсией 2,58. К этой дисперсии нужно еще добавить дисперсию ошибки округления точной суммы, равную 1/и. Таким образом, разность между точным
§ 25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления
