Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
М(е) = ф[® еУп—1 — ^(1 — й] ¦
(20)
§ 71. Коэффициент ранговой корреляции Т, по Кендаллу
399
пиями (18) и (19), но на этот раз в разложениях (11) и (12) учитывать и члены порядка q3, а в формуле (17) — член 5/(2п), то результат будет практически тем же самым, что и раньше: графики функции Mr(q) и Mt(q) получаются почти совпадающими друг с другом.
Как мы видели, нормальное приближение для распределения Т является хорошим, а для распределения В — нет. Истинная функция распределения В при больших положительных значениях В быстрее стремится к единице, а при больших отрицательных значениях В быстрее стремится к нулю, чем соответствующая
Рис. 39. Графики функций мощности критериев R и Т. Сплошная линия соответствует первому приближению для функций мощности Л и Г; улучшенное приближение для Т указано штриховой линией, а для R — штрих-
пунктирной линией.
функция нормального распределения. Если учесть это обстоятельство, но границу Вр оставить пока неизменной, то в качестве графика Mr(q) получается кривая, изображенная на рис. 39 штриховой линией и обозначенная M'r(q). Сперва при малых q эта кривая проходит под сплошной линией, затем она идет над кривой М(дУ, в точке с ординатой М = х/2 кривая M'R переходит вниз, и, наконец, при больших q она снова оказывается выше кривой М. Рисунок является лишь качественно правильным: различие между кривыми несколько преувеличено.
При больших п нужно также еще учитывать и асимметрию распределений В к Т. Влияние асимметрии приводит к уменьшению функций мощности Mr(q) и Мт(ф, особенно при значениях q, близких по абсолютной величине к единице. При этом MR уменьшается несколько сильнее, чем Мт. Однако это уменьшение не очень значительно; на рисунке оно не указано.
400
Гл. XIII. Корреляция
Но мы должны учесть еще одну последнюю поправку, которая является решающей, а именно, поправку к границе Ер. Как мы видели, границы для Т, вычисленные с помощью нормального приближения, являются приблизительно правильными, так как случайная величина Т распределена приближенно нормально. Однако для Е соответствующие границы слишком велики. При п = 8 с помощью нормального приближения мы в качестве 0,5%-ной границы получили Е$ = 0,97, в то время как точная граница равнялась 0,88. В результате мы оказываемся перед выбором: либо, с целью увеличения надежности критерия, оставить границу i?j неизменной (тогда, мощность критерия также не изменится, но истинный уровень значимости будет значительно меньше /3), либо уменьшить Ер таким образом, чтобы истинный уровень значимости по-прежнему не превосходил /3. В последнем случае штриховая линия сместится влево на значительное расстояние и в результате получится большая функция мощности Мц(о), график которой изображен на рисунке штрих-пунктирной линией. Поэтому
Критерий Е по сравнению с критерием Т имеет приблизительно равную мощность и меньший истинный уровень значимости или одинаковый истинный уровень значимости и большую мощность.
К этому следует добавить, что вычисление Е требует меньшей вычислительной работы, чем вычисление Т. Таким образом, оказывается, что старый коэффициент ранговой корреляции Е, по Спирмену, теоретически и практически предпочтительнее своего более молодого конкурента Т.
ТАБЛИЦЫ
Таблица 1
Функция нормального распределения Ф (г) --
— _ a*i
dx
t = —з,о ! —3,1
Ф(<) -,0013 | ,0010
26 Б* Л. ван дер Варден - 1062
1 1 1 ---3,5 ---3,6 -3,7 ---3,8 ---3,9
---3,21 ---3,3; ---3,4|
,0007| ,0005; ,0003* ,0002 сч о ,0001 ,0000
о о
о о
о
402
Таблица 1 (продолжение)
1 1 1 | s 3 4 | 5 I 6 j 7 , 1 9
1 1 ° I 1 ^ 1 1 1
1 ___1
1 ,5000* ,5040^ 1 ,5120 ,5160 ! ,52391 ,5279' ,5319| ,5359
0,0 1 I ,5080| ,5199,
0,1 ,5398, ,5438- ,5478, ,5517 ,5557 ,5596j ,5636) ,5675! ,5714| ,5753
0,2 ,5793! ,5832! ,5871| ,5910 ,5948 ,5987| ,6026, ,60641 ,6103, ,6141
0,3 ,6179j ,62171 ,6255* ,6293 ,6331 ,6368: ,6406 ,6443' ,6480* ,6517
’ t j
0,4 | ,6554; ,65911 ,6628' ,6664 ,6700 ,6736, ,6772 ,6808 ,6844' ,6879
1
0,5 1 ,69151 ,695oj ,6985j ,7019 ,7054 ,70881 ,7123 ,7157. ,7190, ,7224
0,6 ,72571 ,72911 ,7324, ,7357 ,7389 ,7422' ,7454 ,7486) ,7517 j ,7549
0,7 ,7580, ,76! 11 ,7642' ,7673 ,7703 ,7734* ,7764 ,7794: ,7823| ,7852
