Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы теперь предположим, что [л является величиной порядка 1/1Гд. В этом случае в формулах (11) и (12) можно пренебречь членами порядка ц? или \/д и ограничиться выписанными членами. Если (11) и (12) подставить в (2) и (3), то получим
er-W'+ifc)-
~Yz9h(9 + h).
Ь. ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ: д и h — ВЕЛИЧИНЫ ОДИНАКОВОГО ПОРЯДКА
Для определенности мы предположим, что д и h стремятся к бесконечности таким образом, что отношение <?/Лостается постоянным. В этом случае Леманн2 доказал, что случайная величина U распределена асимптотически нормально со средним значением ghp и квадратичным отклонением <ти. Следовательно, вероятность F(ju.) события U > ир асимптотически равна вероятности события w>Up, где w — случайная величина, распределенная нормально со средним значением ghp и квадратичным отклонением о-ц.
РЫ~Фр^). (15)
1 В обоих случаях д — > =>о и h —> оо, поэтому, согласно теореме,сформулированной в § 63 В, Up — О (о-ц) = C(h}rg). — Прим. перев.
а См. сноску на стр. 332.
(13)
(14)
§ 64. Мощность критерия Вилкоксона
341
Если (11) и (14) подставить в правую часть (15), то получим
P(ju) ~Ф (V— с), (16)
где _______
h = Pi,!+» {п)
н постоянная с зависит от UНапомним, что граница Uв была
определена таким образом, чтобы вероятность события ТУ > U?
при /г = 0 не превышала /3 и при д —> оо п h —> оо стремилась к /3. Поэтому вероятность (16) при р. = 0 должна равняться /3:
(18)
Асимптотическая формула для функции мощности определяется формулами (16), (17) и (18).
В. СРАВНЕНИЕ С КРИТЕРИЕМ СТЬЮДЕНТА
В критерии Стьюдента для сравнения двух средних значений (§ 29) используется статистика
‘=5=^’ <19>
где
х = \ (хг -t • ¦ • + X ), (20)
9
У --1 (Ух \- ¦¦¦ т ун), (21)
02 . (1 | 1 — z)2 + ^ (у — у)1
S “Iff +Л)----------y + h—2-------’
В формуле (19) среднее значение числителя D равно /л, в то время как среднее значение S'z задается выражением
4 (23)
Числитель D представляет собой нормально распределенную случайную величину, у которой квадратичное отклонение является величиной того же порядка, что и ju. Так как квадратичное отклонение знаменателя S является величиной более высокого порядка малости, чем квадратичное отклонение числителя, то отсюда следует, что отношение t имеет асимптотически ту же самую функцию
распределения, что и отношение D/ctd. Таким образом, функция
распределения t асимптотически равна функции распределения отношения
г =^=5.
Но случайная величина ? распределена нормально со средним
342 Гл. XII. Порядковые критерии
значением цл/сд и единичной дисперсией. Следовательно, вероятность события t' > с равна
ф(гь-')' |24)
При /л = О снопа должно иметь место равенство Ф(— с) = /3, следовательно, постоянная с принимает то же самое значение, что
и раньше. Если в формулу (24) подставить (23), то получим асим-
птотическую формулу для функции мощности критерия Стьюдента
Р'(fj.) ~ф(Ь'ц -- с), (25)
где ____
ь’ = т
Сравнение (16) с (25) показывает, что асимптотически функции мощности Р(ц) и Р'(ц) при больших g и h отличаются друг от друга лишь множителем ]ЛЗ/гг в коэффициенте при fi. Иными словами, если критерий Вилкоксона применяется к выборкам объема g и Л, а критерий Стьюдента — к выборкам объема д' и h' и если
Я' У и h' Л, (27)
7Г * 71
то функции мощности Р(ц) и Р'(р-) будут асимптотически равны друг другу. Указанное свойство можно выразить и так: асимптотическая эффективность критерия Вилкоксона равна З/я. Это означает, что для критерия Стьюдента, который является наиболее мощным, объемы выборок д и h нужно уменьшить в 3/я раз, чтобы получить такую же функцию мощности, какую имеет критерий Вилкоксона, построенный по выборкам объема д и h.
Так как отношение 3/я приближенно равно 21/22, то можно также сказать, что критерий Вилкоксона, примененный к 22 наблюдениям, приблизительно равноценен но мощности критерию Стьюдента, примененному к 21 наблюдению. Вследствие этого потеря мощности при переходе к критерию Вилкоксона оказывается очень малой.
Большим преимуществом критерия Вилкоксона является, конечно, возможность его применения в случае распределений, отличных от нормального. К тому же он требует значительно меньших вычислений, чем критерий Стьюдента. При больших д и h потеря мощности будет совсем незначительной и полностью окупается этими двумя преимуществами.
