Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует
v М
¦ f 11' N 1 W-8
/ Ир У N
\ \
Л ? \ ч
v(w)
0,016
ОМ:
дисперсии апериодическом КФ (4.17). Из рис. 4.1 видно, что наибольшие
отклонения распределения вероятностей p(U7) от нормального закона имеют
место в центре и на краях.
Хотя такими отклонениями в некоторых случаях пренебрегать нельзя, но в
большинстве случаев можно считать распределение весов нормальным с
плотностью вероятности (4.22). Переходя от весов к значениям КФ, получаем
-5 -4 -Z 0 г 4 BW Ч)
Рис. 4.1. Распределение апериодических КФ полного двоичного кода
до (/?) = К N/n exp (-NR2). (4.23)
Точное выражение распределения апериодических ВКФ полного кода приведено
в работе [34]:
1
до(/?) =
N
(0,5/К2л N exp (-R2/N) +
N-1
+ У] (l/K2it/iexp(-R2/n)
ГС-1
(4.24)
Так как среднее значение mi=0, то четвертый начальный момент полного кода
М4 = (2А'3-2N2 + N)/2N6.
Поскольку дисперсия равна 1/2N, то коэффициент эксцесса
у = М4/о4-3=1 - 4/N+ 2 /N2. (4.25)
Предельное значение у=1 при N-*-oо. Таким образом, предельное значение
коэффициента эксцесса полного кода больше нуля.
4* 99
I
Положительное значение коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что
функция распределения должна быть "обострена" в области малых значений R
относительно нормального закона (должна быть больше при малых R) и иметь
большие значения на краях (при Из рис. 4.1 видно, что характер
распределения
вероятностей p(W) соответствует положительному значению коэффициента
эксцесса у. Таким образом, можно считать, что характер распределения
вероятностей при различных N будет близок к представленному на рис. 4.1,
Среднее значение КФ полного кода равно нулю, а дисперсия a2=l/2N.
Расчеты, проведенные для различных систем сигналов, показали, что их
дисперсии близки к дисперсии полного кода. В табл. 4.1 приведены данные
для систем ФМ сигналов двух подклассов, которые будут более подробно
рассмотрены в дальнейшем: системы Уолша (У) и производной системы (П).
Число последовательностей равно числу символов N и указано в первом
столбце табл. 4.1. Например, для системы У-16 N = 1G и т. я. Производная
система для определенного N была получена из системы Уолша путем
посимвольного перемножения каждой последовательности на производящую
нелинейную последовательность с тем же N.
Во втором столбце табл. 4.1 приведено предельное среднеквадратическое
значение a=l/\^2N, а в третьем - среднеквадратическое значение реальных
систем. Сравнивая результаты второго и третьего столбцов, видим, что они
близки.
Если ввести переменную x=log2Af, т. е. N=2х, то
у=^1-22~х+21-2х. (4.26)
Зависимость (4.26) приведена на рис. 4.2. Точками снизу вверх отмечены
значения у для N = 2, 3, 4, рассчитанные непосредственно. Звездочками
слева направо отмечены значения у-для производных систем П-16, П-32, П-
64, приведенные в четвертом столб-
Та блица 4.1. Характеристики систем ФМ сигналов
Рис. 4.2. Коэффициент эксцесса 100
Предельное среднеквадратическое значение
Среднеквадратическое значение системы сигналов
Д о -а
<и " S о Ь- о -9- * cj ч
.0. ?Т) х ТО
0,177
0,177
0,125
0,125
0,0885
0,0885
0,173 6,33 15
0,171 0,35 9
0,128 4,5 31
0,123 0,64 17
0,0885 20 63
0,088 0,64 25
це табл. 4.1. Как видно из рис. 4.2, коэффициент эксцесса произ-йодных
систем близок к у (4.25), но все меньше, что является, несомненно,
достоинством таких систем сигналов по сравнению с системами Уолша, у
которых у>>1.
4.3. Системы Уолша
Среди систем ФМ сигналов многие образованы на базе систем Уолша.
Системам Уолша и их применению посвящено большое число работ (см.,
например, [5]). Существуют различные и адекватные определения систем
Уолша. Для исследования систем Уолша с точки зрения их корреляционных
свойств целесообразно использовать матрицы Адамара, которые определяются
следующим символическим равенством:
Иы HN (42?J
#2Л/ =
н
N
-н
N
где HN - матрица Адамара порядка N (число строк равно числу столбцов N),
a H2n- матрица Адамара порядка 2N. Полагая #1 = 1, из (4.27) получаем
следующие матрицы порядка 2, 4, 8:
(4.28), (4.29)
1 1 1 1
#2- 1 1 1 -1 , д.= 1 1 - 1 1 1 - 1 - 1 - 1
1 - 1 - 1 1
#"
(4.30)
Используя (4.27), можно найти матрицы Адамара для любого N-2те, где т -
целое число. Матрицы Адамара известны не только порядка N-2т, но и других
значений N. В основном известны матрицы Адамара порядка кратного 4. В
табл. 4.2 [14] приведены матрицы Адамара для #<103 и кратных 4.
Матрицы Адамара удовлетворяют уравнению
HnHtn = NI, (4.31)
где HTN - транспонированная матрица Адамара; 1 - единичная матрица. В
(4.31) используется обычное произведение матриц.
Матрица порядка 2N может быть получена путем применения прямого (или
внешнего) произведения матриц. Если HN и Нм - матрицы Адамара порядков N
и М, то прямое произведение ,
101
Таблица 4.2. Параметры матриц Адамара
т = 4 = 22 т = 8 = 2(r) ттг = 12= 11 + 1 т= 16 = 24 т = 20=19 + 1 т = 24 =
2(11 + 1) /t7 = 28=33+1 т = 32 = 2Б т = 36 = 2 (17+ 1) /п = 40 = 2(19+1)
