Системы связи с шумоподобными сигналами - Варакин Л.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Известна формула для числа нелинейных последовательностей, возможных при
данном k:
? = 22*-'-*. (3.63)
Например, если k =13, то число возможных нелинейных последовательностей
равно 24083, в то время как число М-последовательностей- 630. Такое
большое различие по числу последовательностей объясняется тем, что
введение нелинейных логических операций значительно расширяет возможности
при проектировании формирующих схем.
АКФ. На рис. 3.26,а изображена АКФ нелинейной последовательности для N -
32. На этом рисунке для области т^О изображена периодическая АКФ, для
области т^О - непериодическая.
На рис. 3.26,6 изображены АКФ периодической нелинейной последовательности
с периодом N = 32: 1111 1010001001 01011000001110011 0.
Как видно из рисунков, боковые пики периодических АКФ нелинейных
последовательностей значительно отличаются от - 1/А. Для сравнения на
рис.
3.26,6 представлена АКФ М-по-следовательности, период которой А = 31
имеет вид 11111010001001010110000 1110 0 110. Несмотря на разницу в
периоде в один символ 0, автокорреляционные свойства нелинейных
периодических последовательностей, с точки зрения уровня боковых пиков
значительно хуже, чем М-последовательностей. Это является следствием
того, что сумма двух нелинейных последовательностей не является
циклически сдвинутой нелинейной последовательностью.
Вместе с тем, необходимо отметить, что до настоящего в ре-
71
мши не опубликованы регулярные алгоритмы формирования нелинейных
последовательностей с числом последовательностей, определяемых формулой
(3.63). Известны лишь частные алгоритмы, которые с помощью схем на
сдвигающих регистрах (рис. 3.25) позволяют формировать нелинейные
последовательности N=2h-4, объемом L=25h [18].
+ Кц = ji
(3.64)
3.6. Дополнительные последовательности
Последовательности {ап} и {ап} называются дополнительными [19] , если
[12 при р = 0,
О при р = ± 1, ... , ± (N- 1),
где
я и = 4- 2 ап "п-н; к" = 2 ап (3.65)
" л=д+1
Например, последовательности
111-1 1 1-1 1 111-1-1-1 1-1
п=ц+1
(3.66)
являются дополнительными. Значения их автокорреляционных функций
приведены в табл. 3.16.
Таблица 3.16. АКФ дополнительных последовательностей
и 0 1 2 3 4 5 6 7 8
т" 8 -1 0 3 0 1 0 1 0
м* 8 1 0 -3 0 -1 0 -1 0
NiRv.+Rj 16 0 0 0 0 0 0 0 0
Отметим, что в дальнейшем рассматриваются последовательности, у которых
ап = 1; -I. При заданном N можно построить несколько различных пар
дополнительных последовательностей, комбинируя положения символов.
У дополнительных последовательностей число символов должно быть
одинаковым и равно N. При этом число N является четным и равно сумме
квадратов двух целых чисел
N^N-p-qf + ip-qf, (3.67)
где р, q - целые числа, равные числу -1 в первой и второй до-
72
полнительных последовательностях. Формула (3:67) означает, что число
символов N может быть только суммой квадратов двух целых чисел, включая
нуль. Например, при 100 имеется ряд чисел 2, 4, 8, 10, 16, 18, 20, 26,
32, 36, 40, 50, 52, 58, 64, 68, 72, 74, 80, 82, 90, 98, 100, из которых
можно найти N для дополнительных последовательностей.
Необходимо отметить, что условие (3.67) является необходимым, "о не
достаточным. Например, доказано, что не существует дополнительных
последовательностей с N= 18.
Композиции дополнительных последовательностей. Если имеется пара
дополнительных последовательностей {аи} и {ап} длины N, то их
композициями будем называть дополнительные последовательности длины 2N,
образованные по определенным правилам из исходных последовательностей.
Известны два правила образования композиций: правила чередования и
присоединения.
Правило чередования означает следующее. Если заданы две
последовательности: {а"} =аь ..., ап, - , Ojv и {а"}=аь..., а",...,
aN, то последовательность {ап : йи) = йь бь а2,... ,ап, ап,... ,ах,
&n, в которой символы одной исходной последовательности чередуются с
символами другой, называется составленной по правилу чередования.
Можно доказать, что последовательности
lon * яп1 = ^1" - " ап1 апз г.., Пдг, a^j, '(3.68)
\ап . Пц} == а.}, ..., ап,' ап,... , Ддь ам,
являются дополнительными. Используя правило чередования k pas, получим
пару дополнительных последовательностей длины
Nh = 2к N. (3,69)
Правило присоединения означает следующее. Если заданы две
последовательности {ап} =а\,..., ап,..., и {ап} =аи ..., а",...,
aN, то последовательность {а"| ап} =а\,..., ап ajv, аь ..., ап......
aN, в которой за символами одной исходной последовательности следуют
символы другой, называется составленной по правилу присоединения.
Можно доказать, что последовательности
Hit ..., ап>..., а^, , ant ... , й_л/,
..., йп, ... , йдг, ^1" " йп, ... , Ддг (3.70)
являются дополнительными. Повторяя последовательно k раз правило
присоединения (3.70), получаем последовательность длины 2kN (3.69).
Частным случаем (3.69) является число 2к. В качестве исходной
последовательности при k=0 берется один символ 1, при этом {йп}={а"} = 1.
При k = \ согласно (3.70) имеем
