Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагая, что условия равновесия выполняются, поставим своей задачей определить реакции неподвижной
16*
244
Часть третья. Статика
плоскости в каждой из точек опоры. Выберем систему осей О'ху в опорной плоскости; пусть 6, т) — координаты точки, в которой равнодействующая Q пересекает эту плоскость; далее пусть х',у'; х", у"; х'",у'”,... — координаты точек опоры, наконец, R', R", R'",... —абсолют-
ные величины неизвестных реакций.
Так как сила Q равна по величине сумме реакций R', R", R'",.. . и пересекает плоскость в центре ?, т] этих параллельных сил, то будем иметь три уравнения:
Q = д" + д'" ...
Q S = R'x' + R"x" -f R'"x'" + ...
Qtj = R'y' + R"y" 4- R'"y"' 4- ...
Если имеются только три точки опоры, не лежащие на одной прямой, для чего необходимо, чтобы детерминант системы
1 1 1
х' х" х'"
У у" у'"
был отличен от нуля, то эти три уравнения определят три неизвестные R', /?", R'". Если же имеется более трех неизвестных реакций, то системы трех уравнений окажется недостаточно, и для определения неизвестных реакций потребуется изучение упругих деформаций тела. Таким образом, геометрическая статика не дает достаточного числа уравнений для полного определения реакций.
Случай тяжелого твердого тела. — Эти рассуждения можно применить, в частности, к случаю тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость в нескольких точках, не лежащих на одной прямой. Действие сил тяжести приводится к весу тела, приложенному в центре тяжести. Условие равновесия заключается, таким образом, в том, чтобы вертикаль из центра тяжести падала внутрь опорного многоугольника или (в предельном случае) на одну из сторон этого многоугольника.
Глава VIII. Геометрическая статика
245
194. Устойчивость равновесия твердого тела, опирающегося на плоскость. — Изучение равновесия твердого тела, опирающегося на плоскость, позволяет ввести в простой форме понятие об устойчивости в статическом смысле.
Так как при равновесии тела, опирающегося на плоскость, равнодействующая прямо приложенных к нему сил нормальна к плоскости, то равновесие будет устойчивым или неустойчивым, смотря по тому, пересекает ли равнодействующая плоскость внутри контура или в точке на контуре опорного многоугольника.
Если равнодействующая пересекает плоскость в точке контура, то достаточно приложить в некоторой точке тела новую как угодно малую силу, нормальную к плоскости, чтобы вывести точку пересечения равнодействующей с плоскостью за границы опорного многоугольника и тем самым нарушить равновесие тела, не заставляя его скользить. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво.
Если, наоборот, равнодействующая проходит внутри опорного многоугольника, то момент ее относительно любой из сторон опорного многоугольника не равен нулю. В таком случае он имеет наименьшее значение относительно одной (или нескольких) из этих прямых, например, А'А". Пусть М есть этот наименьший момент. Чтобы вызвать нарушение равновесия введением новой силы, действующей нормально к плоскости, необходимо сделать так, чтобы точка пересечения равнодействующей с плоскостью была выведена за пределы опорного многоугольника. Для этого достаточно приложить новую силу, момент которой относительно А'А" был бы больше М и противоположен ему по знаку. В этом случае говорят, что равновесие устойчиво, наименьший момент М (момент устойчивости) измеряет, в некотором смысле, степень устойчивости равновесия.
Все эти рассуждения применимы, в частности, к случаю тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость. Равновесие такого тела устойчиво, если
246
Часть третья. Статика
центр тяжести проектируется внутрь опорного многоугольника, и неустойчиво, если эта проекция лежит на контуре.
В этом последнем случае самый незначительный добавочный груз, положенный на твердое тело так, что он проектируется в точку вне контура опорного многоугольника, вызывает опрокидывание тела на плоскость. В случае устойчивости, наоборот, чтобы вызвать опрокидывание тела, нужно положить дополнительный груз, проектирующийся в точку вне контура опорного многоугольника, гак чтобы его момент относительно соответствующей стороны этого многоугольника превосходил наименьший для данного тела момент М (момент устойчивости).
§ 5. РАВНОВЕСИЕ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
195. Определение. — Веревочным многоугольником называют систему материальных точек Ми М2, . .. Мп, из которых каждая связана со следующей гибкой и нерастяжимой нитью (или шнуром). Эта нить представляет собой связь, поперечное сечение которой весьма мало и которая не оказывает никакого сопротивления изгибу, кроме того, длина нити между двумя любыми ее точками остается неизменной. Точки MVM2, .. . Мп суть вершины многоугольника и находятся под действием заданных сил Flt F2, ... Fn. Задача заключается в определении условий и фигуры равновесия этой системы.
Свойства веревочных многоугольников послужили исходной точкой для целой системы графических построений, имеющих целью решение задач статики; этот метод составляет в настоящее время содержание отдельной ветви механики, известной под названием графической статики. Мы, однако, не будем ею заниматься в • этом курсе.
