Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть сначала D — четвертая точка твердого тела, не лежащая в плоскости ABC. Скорость точки D определяется ее проекциями на три прямые AD, BD, СО, не лежащие в одной плоскости. Эти проекции известны, так как они представляют собой скорости скольжения каждой из этих прямых, которые равны соответственно проекциям на те же прямые скоростей трех точек А, В, С. Теперь известны скорости уже четырех точек тела, не лежащих в одной плоскости, и скорость всякой новой точки М тела может быть определена, как это только что было сдялано, при помощи скоростей трех из этих четырех точек, выбранных таким образом, чтобы их плоскость не проходила через точку М.
Замечание. — Эта теорема имеет большое значение для определения мгновенного движения твердого тела, так как такое движение представляет собой не что иное, как состояние скоростей всех точек тела в определенный
*) Это представляет собой кинематическое выражение теоремы из теории векторов, которая утверждает, что проекция на ось результирующего момента системы векторов относительно какой-нибудь точки оси не зависит от выбора этой точки на ос и.
2) Это представляет собой перевод на язык кинематики сле-
дующей теоремы из теории векторов: две системы векторов
эквивалентны, если они имеют соответственно равные глав-
ные моменты относительно трех точек, не лежащих на
одной прямой. Следует к тому же заметить сходство в дока-
зательствах.
Точно так же скорости всех точек твердого тела опреде-
ляются скоростями скольжения шести ребер тетраэдра (п° 27^.
Глава II, Кинематика твердого тела
71
момент времени. Если в данный момент скорости трех точек тела, не лежащих на одной прямой, такие же, как в некотором известном мгновенном движении, то мгновенное движение тела совпадает с этим известным движением. Этот именно принцип мы будем применять при доказательстве следующих далее теорем. .
63. Теорема. — Если скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, в некоторый момент геометрически равны между собой, то движение тела в этот момент представляет собой мгновенное поступательное движение.
Пусть v есть общая скорость трех точек; эти точки имели бы такую же скорость в поступательном движении со скоростью v, поэтому мгновенное движение твердого тела совпадает с этим поступательным движением. Высказанная теорема означает только, что все точки тела имеют одну и ту же скорость v в момент t\ никаких других выводов из нее сделать нельзя. В частности, если в момент t скорости трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю, то скорости всех других точек тела тоже равны нулю.
64. Теорема. —-Если в момент t скорости двух точек А и В твердого тела равны нулю, то мгновенное движение тела есть вращение вокруг прямой АВ.
Пусть М есть третья точка твердого тела, взятая вне прямой АВ. Скольжение каждой из двух прямых AM и ВМ равно нулю в момент t, а потому скорость точки М перпендикулярна к плоскости МАВ или равна нулю. В первом случае скорость точки М можно получить при помощи подходящего вращения тела вокруг прямой АВ. Так как три точки тела А, В и М имеют такие же скорости, как при вращении о), то эго справедливо и для всех других точек тела. В том исключительном случае, когда скорость точки М в момент t равна нулю, скорости трех точек тела обращаются в нуль, и твердое тело находится в состоянии мгновенного покоя.
72 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
65. Теорема. — Если скорость точки А твердого тела раена нулю' в момент t, то мгновенное движение тела есть вращение вокруг оси, проходящей через точку А.
Пусть В есть некоторая отличная от А точка твердого тела. Если скорость ее равна нулю, то движение тела есть мгновенное вращение вокруг прямой АВ в силу предшествующей теоремы, и предложение, таким образом, доказано. В противном случае скорость v точки В перпендикулярна к прямой АВ, и скольжение этой прямой равно нулю. Проведем через АВ плоскость П, перпендикулярную к v, и возьмем третью точку С тела, не лежащую в плоскости II. Скорость v' точки С перпендикулярна к АС. Проведем через АС плоскость II', перпендикулярную к V1. Две плоскости П и П' пересекаются по прямой AR. Я утверждаю, что скорость любой точки твердого тела, лежащей на прямой AR, равна нулю, и следовательно, в силу предшествующей теоремы, мгновенное движение тела есть вращение вокруг AR. В самом деле, пусть М есть некоторая точка прямой AR\ если мы проведем MB и МС, то эти прямые будут соответственно перпендикулярны к о н v'. Скольжение каждой из трех прямых МА, MB, МС, не лежащих в одной плоскости, равно нулю, т. е. проекции скорости точки М на эти три прямые равны нулю, а следовательно, и сама скорость равна нулю.
Ось мгновенного вращения есть, таким образом, общая прямая плоскостей, проведенных через различные точки тела перпендикулярно к соответствующим скоростям этих точек.
66. Мгновенное движение свободного твердого тела в самом общем случае. — Мгновенное движение свободного твердого тела в самом общем случае разлагается на два движения; поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольной точки О тела, и мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через эту
