Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
В механике чаще всего выбирают прямоугольные оси координат. В этом случае модуль вектора выражается через его проекции формулой
V=y + .
Направление и ориентация вектора ОР определяются тремя его направляющими косинусами:
X У Z
cos а = р-, cos (3 = у, cosy = ^,
которые связаны между собою соотношением cos2 а. cos2 j3 -f- cos2 7 = 1.
Когда оси координат косоугольные, отношения X : V,
Y : V, Z:V называются направляющими коэффициентами вектора. Из аналитической геометрии известно, что эти величины определяют направление отрезка ОР и его ориентацию.
2. Геометрическое равенство. — Два вектора V и V' геометрически равны, если они имеют одинаковые
Введение
величину, направление и ориентацию. В этом случае пишут:
V=V'.
Эго соотношение и выражает геометрическое равенство. Если векторы отнесены к системе трех осей координат, то для геометрического равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они имели соответственно равные проекции на оси. Если обозначим эти проекции через X, Y, Z и X', Y', Z' соответственно, то предыдущее геометрическое равенство распадается на три. алгебраические равенства:
Х = Х\ Y = Y', Z = Z',
которые ему эквивалентны.
Когда два вектора V и V' имеют одинаковые величину и направление, но противоположно ориентированы, то говорят, что они противоположны. Будем обозначать знакамии — две противоположные ориентации одного и того же направления в пространстве, так что, если векторы V и V' противоположны, то будем писать
V = — V'.
Это соотношение эквивалентно трем алгебраическим равенствам:
Х=—Х', Y — — Y', Z— — Z'.
Два вектора прямо противоположны, если они противоположны и имеют одну линию действия.
3. Умножение и деление на число. — Умножить вектор V на положительное число т значит построить вектор mV с теми же самыми началом, направлением и ориентацией, но по величине равный mV.
Умножить вектор V на отрицательное число —т значит построить вектор—mV, противоположный вектору mV.
Разделить вектор на число значит умножить его на* число, обратное данному.
30
Введение
4. Сложение. — Пусть Vt, V2, ...,Vn суть векторы, произвольно расположенные в пространстве. Возьмем произвольную точку О за начало и построим многоугольник О V1V2'VS/.. .Vn', последовательные стороны которого соответственно геометрически равны данным
векторам V1, V%, ..Vn. Вектор OVn, замыкающий многоугольник, называется геометрической суммой, или просто суммой векторов Vl, У2, ..., Vn. Этот вектор R записывается в виде:
Vl + Va+..,. + Vn.
Мы будем писать сокращенно
CD
Так как точка О взята произвольно, то геометрическая сумма нескольких векторов есть вектор свободный.
Сумма векторов может быть определена аналитическим способом. Если обозначить через Хи, Ун- Zu проекции вектора Vk на три оси, то проекции X, У, Z суммы R равны суммам проекций векторов Vk (в силу теоремы
о проекциях). Поэтому будем иметь:
Х = ЪХъ, к = 2'Г*. Z = (2)
Геометрическое равенство (1) эквивалентно трем алгебраическим соотношениям (2). Поэтому переместительный <и сочетательный законы алгебраического сложения распространяются и на сложение векторов.
Геометрическая разность. — Геометрическая разность двух векторов V и V' есть геометрическая сумма вектора V и вектора —V', противоположного V'. Согласно зтому определению, имеем:
V— V= V + (— V).
На основании законов сложения эта разность представляет собой вектор, который нужно прибавить к V\ «чтобы получить V.
Введение
11
В самом деле:
V-H— V')-\- V' = V.
5. Направление вращения вокруг оси. — Рассмотрим неподвижную ось с определенной ориентацией Ог и точку М, движущуюся таким образом, что плоскость МОг вращается вокруг этоП оси. Вращение может происходить в двух различных направлениях: одно из них называют прямым, или положительным, другое, противоположное первому, отрицательным. Выбор прямого направления есть дело соглашения. Во всем дальнейшем предполагается, что ориентация координатных осей связана с прямым направлением вращения, т. е. поворот положительной оси х на прямой угол до совмещения ее с положительной осью у происходит вокруг оси Ог в прямом направлении. Само же прямое направление, для определенности, установим раз навсегда так, чтобы наблюдатель, ноги которого находятся в О, а голова в г, видел вращение от оси Ох к оси Оу происходящим справа налево (против направления вращения часовой стрелки).
6. Момент вектора относительно точки. — Момент
вектора АР, или V относительно точки О есть новый вектор G, определяемый следующим образом (фиг. 1): он приложен в точке О, направлен по нормали к плоскости, проходящей через точку О и вектор V, ориентирован в сторону движения точки О при положительном вращении вокруг V и по величине равен произведению VS модуля V на расстояние 8 точки О от прямой, несущей V. Точка О называется центром момента.
