Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Проекции (прямоугольные или косоугольные) вектора ММ'
Глава I. Кинематика точки
43
на оси соответственно равны Длг, Лу, Дг; проекции средней скорости суть
Ах Ay А 2
~АТ ’ ~аТ ’ ТГ ’ поэтому проекции геометрической скорости v будут равны
dx dy dz
Vj! ~dT ' Vy dT’ Vz If'
Отсюда следует основная теорема:
Теорема. — Алгебраические значения проекций (прямоугольных или косоугольных) геометрической скорости точки на оси (прямоугольные или косоугольные) равны производным от координат движущейся точки по времени.
На основании указанных формул, в случае прямоугольных осей, величина скорости равна
„ = yv* + + = d^-Ydz-
Обозначим через s длину дуги траектории, отсчитываемой (с соответствующим знаком) от неподвижной точки /И0 на траектории. В дифференциальном исчислении доказывается, что в случае прямоугольных осей имеет место равенство
ds = ±: YJi^^dy^+Jz^ .
Следовательно, будем иметь
ds
V~~~4T'
независимо от выбранной системы координат, так как длина дуги *• полностью определяется самой кривой.
Мы условимся, однако, приписывать скорости v алгебраическое значение (положительное или отрицатель-
44 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
ное) и будем поэтому во всех случаях определять алгебраическую скорость v формулой
ds
v~~ IT'
Когда dt положительно, ориентация ds совпадает с ориентацией v, и потому в полученной формуле v имеет тог же знак, что и ds. Это условие сводится, таким образом, к тому, чтобы считать алгебраическую скорость положительной в направлении возрастающих дуг и отрицательной в противоположном направлении.
Если обозначим через As дугу (положительную или отрицательную), описываемую за время At, то отношение
As
~1Т
называется средней алгебраической скоростью точки за промежуток времени Д/; когда At стремится к нулю, это
ds
отношение стремится к , или к v. Таким образом,
алгебраическая скорость есть предел средней алгебраической скорости, когда рассматриваемый промежуток времени стремится к нулю.
39. Определение вектора ds. — Будем называть вектором ds вектор, приложенный в точке М и имеющий проекции на оси, соответственно равные dx, dy, dz.
Геометрическая скорость v равна геометрическому частному от деления вектора ds на dt,
ds
v = Tf>
гак как проекции этого частного на оси равны
dx dy dz
d f ' IT ’ ~dr ’
т. e. проекциям (vx, vy, zQ вектора v.
Глава !. Кинематика точки
4,1
Вектор ds имеет те же направление и ориентацию, что и вектор V, если dt положительно. Он совпадает поэтому с касательной к траектории и ориентирован в сторону движения точки. Его модуль равен величине произведения v.lt.
40. Равномерное движение; переменное движение. —
Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна. В этом случае имеем:
ds ,
—гг — const = а . at
Пусть 40 есть значение s для t — 0 (начальное значение); ннтегрируя это уравнение, получим:
5 ~ so 4" а*•
Следовательно, в равномерном движении пройденные пути пропорциональны времени, и величина |я| скорости равна пути |s — у0!, пройденному в единицу времени.
Движение, не являющееся равномерным, называется переменным, или неравномерным. Оно будет ускоренным или замедленным, смотря по тому, будет ли абсолютная величина скорости возрастать или убывать.
Движение называется равномерно переменным, если алгебраическая скорость изменяется пропорционально времени. В этом случае будем иметь, обозначая через начальную скорость (для / = 0):
Отсюда получим, интегрируя:
1 * I а1'
* = so + V 4- — •
Если начальная скорость равна нулю, пройденный путь изменяется пропорционально квадрату времени.
41. Прямолинейное движение. Теорема о проекции скорости.— Если движение прямолинейное,то можно взять
4(i Чисть первая. Кинематика точки и твердого тёЛй
траекторию за ось х. В этом случае имеем $ — х, и конечное уравнение движения принимает вид:
Алгебраическая скорость определяется формулой
dx
v = !u
fit).
Выражение dx : dt скорости точки, движущейся по оси х, приводит к важной теореме. Когда точка движется в пространстве, dx: dt есть проекция ее скорости на ось х‘ в то же время эта величина равна алгебраическому значению скорости проекции Mv точки М на ось х, так как точка Mt имеет абсциссою х. Если ось х вията произвольно, то мы приходим к следующей теореме: Если спроектировать на ось движущуюся точку и ее скорость, то проекция этой скорости равна скорости проекции точки.
