Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вырожденным частным случаем общей задачи Коши в газовой динамике, когда
начальные условия удовлетворяют соотношениям (6.111) и течение является
простой волной. Более естественно рассмотреть здесь снова задачу о
поршне, где
и завершить рассуждения § 6.8 и 6.9 рассмотрением случая, когда
образуются ударные волны *). Решение имеет вид
где параметр т, выделяющий характеристику, выбирается так, что f = т на
траектории поршня. Ударные волны должны форми-
(6.113)
в данном случае это сводится к
U- -g- (flj + щ -)- "а + щ) = с0+ (^i + Щ)- (6.114)
Согласно условиям на слабом скачке,
§ 2.8.
и = g (t) = X (t) при х = X (t),
u = g(x),
(6.115)
(6.116)
ж = Х (x) + {a0-i-l±ig-(T)} (г - т),
1) Решение дается в виде, охватывающем также и более общий случай, когда
заданная функция g (t) не совпадает с X (t).
Гл. 6. Газовая динамика
178
роваться на характеристиках с g (т) > 0. Эту задачу можно было бы связать
с задачей Коши, продолжив характеристики назад до оси х, как показано на
рис. 6.3, и положив
1= X (т) - { а0 + I±i g (т)} т, F(i) = а0 + - g (т).
Затем можно было бы применить результаты § 2.8. Однако, видимо, проще
действовать непосредственно.
Рассмотрим движение передней ударной волны, распространяющейся в
невозмущенную область с и = 0 (рис. 6.3). Если
траекторией разрыва является х - s(t), то условие на разрыве
(6.114) дает
ii = a0 + l±ig( т), (6.117)
а характеристическое уравнение (6.116) дает
s(t) = X (т) + { "0+-^ g (т) } (*- т). (6.118)
Решая эти два уравнения, находим svit как функции параметра т,
определяя таким образом ударную волну. Поскольку X (т)/а0 <? 1> X (т)/а0
т и t т на ударной волне, то равенство (6.118) можно приближенно заменить
следующим равенством:
s (t) = | а0 + g (т) j t-а0т, (6.119)
6.11. Слабые ударные волны в простых волнах
179
Тогда имеем
-S- = "o + 1^-g(T)+ {^g^)t-a0 } -J-.
Сравнивая это выражение с (6.117), получаем V +1 /\. 7+1
Интегрируя, получаем
т
^±g4i)t=]g{t')dx'. (6.120)
о
Соотношения (6.119) и (6.120) определяют ударную волну.
Если g (0) > 0, то ударная волна возникает сразу в начале координат.
Связь между т и t имеет вид
g(0)t~ т,
так что
s~ {a0 + ^-g (0) } t.
Ударная волна начинает распространяться со скоростью ae + + {(у + 1)/4} g
(0), что согласуется с (6.114).
Если поршень останавливается так, что g (т) -0 при т т0, то
асимптотическое поведение описывается соотношениями
1°
Xtlg2(T)<~ j g (т) dx,
о
то
s ~ a0t + | (у +1) а0 | g (т) dx } h tv* - ОоТ0,
о
U = g(r)~ | g(T)dx}1/2rl/2.
0
Траектория ударной волны в (х, ^-плоскости приближенно представляется
параболой, а интенсивность ударной волны убывает как г-1/2. Между ударной
волной и предельной характеристикой т = т0 имеем
* ~ {"о +~^~ S (т)} t-a0x0,
так что
,. " /т\ 2 х ар (t tq)
Гл. 6. Газовая динамика
180
Другие ударные волны рассматриваются аналогичным образом. Если поршень
возвращается в исходное состояние в момент времени t - Т и затем остается
неподвижным, то асимптотическое поведение описывается уравновешенной iV-
волной со скачками в точках
1
х = а0 (t - т0) ± | (у + 1) а0 j g (т) dx j h tX,i, о
причем между ними
2 х-ao(t - то)
u~r+i i *
Другие частные случаи и предельные выражения можно изучить, следуя
рассуждениям, проведенным в § 2.8.
6.12. Задача Коши; взаимодействие
волн
Простая волна - это возмущение, распространяющееся по одному из трех
семейств характеристик. Для задачи Коши с начальными
данными общего вида волны распространяются по всем трем семействам, если
начальные условия сами не удовлетворяют соотношениям простой волны. Если
начальные условия однородны с и = 0, а - а0, S = S0 всюду, за исключением
отрезка а <1 х <1 Ъ, то (х, ^'Диаграмма имеет вид, изображенный на рис.
6.4. Имеется область взаимодействия adceb, но затем, если не возникают
ударные волны, возмущение распадается на три простые волны, как пока-
6.12. Задача Коши; взаимодействие волн
181
зано на рисунке. Их существование можно установить, заметив, что в каждой
из них две характеристики выходят из области с однородными начальными
условиями.
В областях, расположенных между простыми волнами, все три характеристики
выходят из той или другой области с однородными начальными условиями;
следовательно, в них имеется однородное состояние с и = 0, а = а0, S =
S0. Как только найдено решение в области взаимодействия, простые волны
можно описать аналитически (как и в § 6.8) с граничными условиями,
диктуемыми областью взаимодействия.
Если энтропия первоначально всюду одинакова, то течение является
изэнтропическим. Тогда на рис. 6.4 P-волна отсутствует и область
взаимодействия ограничивается треугольником аЪс.
На практике решение в области взаимодействия чаще всего находится
численно. Однако в изэнтропическом случае можно сделать некоторые
аналитические упрощения; соответствующая задача была полностью решена
Риманом. Для изэнтропического течения вместо р можно использовать а и
переписать уравнения в виде
Уравнения такого вида преобразуются в линейную систему уравнений, если
