Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Как и следовало ожидать, паводковые волны перемещаются быстрее, чем вода,
но их скорость распространения не может намного превышать скорость воды.
Седдон обращает эти вычисления и использует свои наблюдения за скоростью
распространения возмущения для определения эффективного сечения русла, т.
е. зависимости Р от А. Это ценная идея для всех задач о кинематических
волнах: использовать наблюдения за скоростью распространения с для
установления зависимости между q и р.
Если опустить зависимость Q от х, то уравнение (3.31) сводится к
At с (А)АХ = О
и можно использовать общее решение из гл. 2 с разрывами, на которых
выполняется условие
г; 92 - 91
*
Для степенных законов, предложенных выше (и подтверждаемых наблюдениями),
с (А) - возрастающая функция от А; следовательно, волны, связанные с
возрастанием высоты поверхности, опрокидываются вперед и разрыв несет
увеличение высоты, так что A2>Av
Эффекты высшего порядка
Как и в других рассмотренных примерах, уточнение вида связи между q и А в
соотношении (3.30) затрагивает производные высших порядков. В
нестационарном потоке сила трения и сила тяжести не уравновешиваются
полностью и их разность пропорцио-
3.2. Паводковые волны
87
нальна ускорению жидкости; разница между наклоном поверхности воды и
наклоном дна также влияет на результат.
Полезно записать уравнения в форме законов сохранения так, чтобы при
необходимости можно было вывести надлежащие условия на разрывах. Для
простоты рассмотрим случай широкого прямоугольного канала с постоянным
уклоном а, а в качестве основных переменных вместо А и q будем
использовать глубину h и среднюю скорость г. Тогда закон сохранения
количества жидкости можно записать в виде
XI
\hdx + [hv]^= 0. (3.34)
ж2
Для формулировки закона сохранения импульса требуется некоторая
дополнительная информация. Соответствующее уравнение гидравлики имеет вид
A'J Ж1
j hi: dx + \hiAQ + [ "J" Ф2 cos a ]*' = ) sin adx - Cfi:2 dx.
.'-2 -T2 -Ж2
(3.35)
С точностью до общих множителей р0 (постоянная плотность воды) и Ъ
(ширина канала), на которые мы сократили, пять членов этого уравнения
соответственно обозначают: 1) скорость возрастания импульса на участке х2
<; х <; х±, 2) суммарный перенос импульса через сечения х± и х2, 3)
суммарную полную силу давления, действующую на сечения х± и х2, 4)
составляющую силы тяжести вдоль уклона и 5) силу трения о дно.
Рассмотрим подробнее член, описывающий давление. В гидравлике зависимость
скорости от координаты у, нормальной ко дну, исключается усреднением, так
что v = v (х, t), и ускорением жидкости вдоль у пренебрегают. Последнее
предположение означает, что давление удовлетворяет гидростатическому
закону
др
-^-= - Pogcosa.
Отсюда
p-p0=(h - y) p0gcos а,
и полный вклад возмущения давления, проинтегрированного по поперечному
сечению реки, равен h
ъ j (Р - Ро) dy = ll?h2pogb cos а; о
последнее выражение и определяет третий член в (3.35).
Уравнения (3.34) и (3.35) представляют собой два закона сохранения для h
и v. Если h и v предполагаются непрерывно диффе-
Гл. 3. Конкретные задачи
88
ренцируемыми, то можно перейти к пределу хг - х2 -> 0 и получить
уравнения в частных производных для h и V. Для упрощения получающихся
выражений обозначим g' = g cosa и уклон S = tga. Тогда уравнения для h и
v примут вид
ht + (hv)x = 0,
(hv)t + (hv2 -f Vo g'hz)x = g'hS -CfV2.
Используя первое уравнение для упрощения второго, получим эквивалентную
систему
ht -j- vhx -\-hvx = О,
"2 (3.37)
Vt+vvx-\-ghx = g'S - Cf-Y.
В приближении кинематических волн пренебрегают левой частью второго
уравнения (3.37), что дает
ht + (hv)x = 0, (3.38)
В этой кинематической теории на разрыве должно выполняться условие
г т ,г2^2 ri/ij
h.2 - }ц
Устойчивость; катящиеся волны
(3.39)
Выясним теперь, что следует из наличия дополнительных членов в (3.37).
Для простоты будем считать S и С/ постоянными. Как и в задаче о потоке
транспорта, рассмотрим сначала линеаризованную форму уравнений для малых
возмущений стационарного состояния v = v0, h - h0, где
C,-^ = g'S. (3.40)
Полагая
v = v0 + w, h = h0 + ri
и пренебрегая всеми членами, кроме членов первого порядка по w и т),
получаем
9* vo4x + howx = 0, u't + v0wx + g'r]x + g'S () = 0.
Исключив w, приходим к уравнению для т]
(¦Jr+c+i) (4r+c-i) ^+4^~a+c°i)r]==0' (3-41)
3.2. Паводковые волны
89
где
с+ = v0 -f У g'h0, с_ = v0 - V g'K с0 = 3v0j2.
(3.42)
Уравнение (3.41) имеет такой же вид, как и рассмотренное выше уравнение
(3.9), с соответствующим изменением выражении для с+ и с_. Следовательно,
условие устойчивости имеет вид
с_<с0<с+; (3.43)
эти же неравенства являются критерием того, что в приближении
= 0 (3.44)
дц
dt
dv\
дх
не нарушается условие на характеристики. Уравнение (3.44) является,
конечно, линеаризацией уравнения (3.38).
Используя (3.42), условие устойчивости можно записать в виде v0C2 Уg'ho,
или - с учетом (3.40) - в виде S << 46/. Для рек v0 обычно значительно
меньше, чем_|f g'h0, но для водосливов плотин и других искусственных
