Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (17.65) можно привести к каноническому виду, сначала перейдя к
системе отсчета, движущейся с линейной групповой скоростью со; (это
позволит исключить член с фж), а затем перенормировав переменные. В
результате мы получим уравнение
iut + ихх + v| и \2и = 0, (17.66)
в котором коэффициент v имеет тот же знак, что и дщ.
17.8. Однородные волновые пакеты и уединенные волны
Как обычно, ищем решения в движущейся системе координат X = х - Ut, но
теперь допускаем поправочный коэффициент, т. е. допускаем решения вида
u=eirx-uty (X), X = X - Ut,
где г и s - постоянные. Это можно интерпретировать как некоторый произвол
при выборе экспоненциального множителяв (17.62). Подстановкой получаем
обыкновенное дифференциальное уравне-
Гл. 17. Точные решения
576
ние для V.
v" -j- г (2r - U)v' + (s - г2) v + v | v \2 v = 0.
Положим теперь
первое условие позволяет исключить член с г/. Теперь можно считать, что v
вещественно и удовлетворяет уравнению
Это типичное уравнение для кноидальных волн. Интегрируя один раз,
получаем уравнение
которое решается в эллиптических функциях. В предельном случае уединенной
волны имеем -v > 0, А = 0, сс>0и
Это решение описывает волновой пакет и, аналогичный изображенному на рис.
15.2 и распространяющийся без искажения формы с постоянной скоростью.
Интересно, что величина | ц |2 пропорциональна sech 2, т. е. той же
функции, которая описывает уединенные волны для уравнения Кортевега - де
Фриза. Важное различие, однако, состоит в том, что теперь амплитуда и
скорость являются независимыми параметрами.
Следует особо отметить, что решения (17.67) возможны только при v > 0, т.
е. в случае неустойчивости. Это опять указывает на то, что в результате
воздействия малых модуляций неустойчивый волновой пакет переходит в серию
уединенных волн. Такое заключение подтверждается анализом Захарова и
Шабата, приведенным в следующем параграфе.
1/.У. Обратная задача рассеяния
В одной из наиболее интересных работ, относящихся к этой области, Захаров
и Шабат [1] показали, как, следуя Лаксу [1], можно применить обратную
задачу рассеяния по аналогии с методом решения уравнения Кортевега - де
Фриза. Этот метод годится для любого уравнения
v" - av -J- vz;3 = 0.
v'2 = /4-f- av2-
v -
(17.67)
ut = Su,
17.9. Обратная задача рассеяния
577
которое можно представить в виде 8L
= I [L, А] - г (LA- ^4L),
(17.68)
где L и А - линейные дифференциальные операторы с коэффициентами,
содержащими функцию и (ж, t), a dUdt отвечает дифференцированию и по I в
выражении для L. Как только такое представление получено (весьма
нетривиальный шаг), решение строится следующим образом.
Рассмотрим задачу на собственные значения
/уф = Яф. Дифференцирование по t дает dX
(17.69)
*ф
+ ^-gjT = iL$t+ i-
Ф =
- iL^t - {LA-AL) ф: = L (i\ft - 4ф) -j- ЯАф.
С л е дова те л ьно,
дХ
Если в начальный момент функция ф удовлетворяет уравнению = Лф и ее
эволюция во времени описывается уравнением
г'фг = 4ф,
(17.70)
то она продолжает удовлетворять уравнению Z/ф = Яф с тем же значением Я.
Уравнение (17.69) связывает функцию и (ж, t) с задачей рассеяния, а
уравнение (17.70) дает зависимость данных рассеяния от времени. Решение
затем строится так же, как и выше. Уравнение (17.68) при этом является
условием совместности уравнений (17.69) и (17.70).
Решающий шаг состоит в выделении оператора L, входящего в уравнение
(17.68). Захаров и Шабат заметили (по-видимому, нужно было просчитать
много вариантов), что матричные операторы
L = i
А+р
0
0 ' 1-Р-
дх
+
А = - р
1 0" 0 1
4-=-+
Lj дх2 ^ - М2
1-р _
осуществляют требуемое представление (17.68).
0 и*~ и 0
' М2
1+р
2
1 - р2'
Гл. 17. Тонные решения
578
Начиная с этого места, их анализ аналогичен исследованию уравнения
Кортевега - де Фриза, хотя существенное изменение вносится необходимостью
рассмотрения обратной задачи рассеяния для уравнения (17.69), поскольку
оператор L несамосопряженный. Была разработана соответствующая техника
сингулярных интегральных уравнений, несколько отличающаяся от подхода
Гельфанда - Левитана. Захаров и Шабат использовали эволюцию if,
описываемую уравнением (17.70), для получения информации о поведении
матрицы рассеяния, а затем по этой информации построили и (х, t). Здесь
также оказывается полезной альтернативная версия, основанная на
уравнениях, аналогичных уравнениям (17.38)-(17.39).
Качественно результаты аналогичны результатам для уравнения Кортевега -
де Фриза. Решения, описывающие взаимодействующие уединенные волны,
получаются в явном виде и отвечают случаю, когда вклад дает только
точечный спектр. Выражение для | и |2 снова имеет вид
где | Р | - определитель из экспонент, на этот раз связанный с оператором
,_д_|_
* dt дх%
Это решение опять подтверждает, что уединенные волны сохраняют свою
структуру и выходят из области взаимодействия в своем первоначальном виде
с возможными задержками, вызванными взаимодействием.
Решение задачи с начальными значениями находится так же, как и выше, и
