Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
положить сох = 0. Цепочка теперь принимает вид
(со0 - с"х) - ух3?Г - 0,
(со"-с0х) ?2-ух3?'" = -J- c0x^t;
3
(со0 - с0х) ?3 - ух3?" = ^ с"и (SiSa)' - "2?!
Если ОПЯТЬ положить
= cos 0, со0 = с"х - ух3,
То найдем
S2 = 8^cos20.
Правую часть уравнения для ?3 можно записать так:
-"з!рГ (r) "I" ^ s*n + о >2 sin 0.
Выберем теперь
3 с20
13.13. Волны Стокса
455
и тем самым исключим резонансный член. Окончательный результат имеет вид
-jJ-= е cos 0 + р|g-- cos 20 + cos 30 + ..., (13.118)
~=i4^o+ilw+--- - (".не.
Второе уравнение показывает характер зависимости дисперсионного
соотношения от амплитуды.
Следует отметить, что параметром разложения фактически является
е/(к2/г.ц), а это соответствует отношению а/р. Сравнивая результаты с
разложением решения (13.114) для малых т = а/|3, следует учесть различные
способы выбора начала отсчета для г) и, следовательно, различные способы
выбора h0. Использование различных систем отсчета неизбежно; для
предельного случая уединенной волны удобно поместить начало отсчета у
подошвы волны, тогда как для линейного предела началом отсчета удобно
считать средний уровень.
Следует также отметить, что выражение (13.118) можно рассматривать как
ряд Фурье для периодического волнового пакета и эту общую структуру можно
считать заданной с самого начала.
Случай произвольной глубины
В общем случае цель состоит в нахождении разложений по малой амплитуде
периодических решений системы
Ф*ж + Фг/!/ = 0, -h0<y<t],
Фг/ = 0, у= -h0,
т]< +ФА-Фг/ = 0, j _
ф" 4-1/2ф1|4-1/гФу, -j- S'"*! = О J ^ ^
В нашем случае ц = ц (0), ф == ф (0, у), 0 = кх - сot, где т] и ф -
периодические по 0 функции. Можно выбрать начало отсчета у = О так, чтобы
т] имела нулевое среднее значение, и тогда разложение для т] будет иметь
вид
г\ - a cos 0 + cos 20 + . . ., (13.120)
где ра - коэффициент, который следует найти. Согласно выбору среднего
значения ц = 0, из второго условия на поверхности у = г| следует, что
среднее значение ф( не может быть нулевым и функция Ф в своем разложении
должна иметь по крайней мере член с t. Это также можно интерпретировать
как следствие поглощения постоянной интегрирования при первом выводе
выражения для (Р - Ро)/р-
Гл. 13. Волны на воде
456
Другая возможность - сохранить ненулевое среднее значение величины т].
Поскольку в физических величинах фигурируют только производные от ф,
члены, пропорциональные t или ос, приемлемы для ф. Член, пропорциональный
ос, указывает на ненулевое среднее значение горизонтальной скорости.
Здесь это среднее можно положить равным нулю. В дальнейшем при изучении
модулированных волновых пакетов нам понадобятся как т] Ф 0, так и фх Ф 0,
поскольку они изменяются при модуляциях и их нельзя исключить. Обобщения
очевидны, так что здесь мы положим г) - 0, фж = 0. Тогда разложение для ф
можно записать в виде
Ф = v0a2t vxa ch х (у + h0) sin 0 +
+ v2a2 ch 2x (у + h0) sin 20 -f . . . . (13.121)
Чтобы снова избежать появления в третьем порядке вековых членов, о)
следует также разложить в ряд
со = со0 (х) -Г ahо2 (х) -Г . • . • (13.122)
Когда все это выполнено, оказывается, что
= 1 + + ~ (131Я)
И
p2 = ixcthxfco(l+TiI|^-),
gx top 3 top
V° 2 sh 2xh0 ' Vi x sh xh0 ' 8 sh4 y.hg '
Дисперсионное соотношение (13.123) является основным результатом. При
x2h2 1 возвращаемся к (13.119), а при х2Щ 1 получаем принадлежащую Стоксу
формулу для глубокой воды
со(r) = gx (1 + х2а2 + ...). (13.124)
Детали выкладок в случае произвольной глубины становятся довольно
громоздкими. Их можно отчасти сократить подстановкой разложений в виде
рядов Фурье в вариационный принцип (13.16) -
(13.17) и нахождением коэффициентов из вариационных уравнений (см.
Уизем [11]).
Выражения, полученные Стоксом, ограничены малой амплитудой и не могут
описывать самые высокие волновые пакеты, у которых, как показывают
наблюдения, гребни становятся острыми. Однако Стокс, рассматривая этот
случай в точной постановке, показал, что если острые гребни имеются у
волны со стационарным профилем, то угол при вершине должен быть равным
120°. Его рассуждения существенно опираются на предположение, что волна
имеет постоянную форму и распространяется с постоянной
13.13. Волны Стокса
457
скоростью. В этой ситуации течение стационарно в системе отсчета,,
движущейся вместе с гребнем. Решения уравнения Лапласа являются
аналитическими функциями от z = х + 1у, и достаточно общая сингулярная
функция (при выборе вершины гребня в качестве начала отсчета) имеет вид
ф -f- 1ф с/о zm.
В локальных полярных координатах (г, со), где со отсчитывается от
направленной вниз вертикали,
х- г sin со, у=-г cos со, z =-ire~ia,
имеем
ф = Crm sin нгсо.
Записав уравнение свободной поверхности в виде ц = -г cos со0,. из
условия для давления
Ф? Ч- ^ Ф~ + = eonsl;
получаем, что
C2m2r2m~2 - gr cos со0 = const.
Сравнивая показатели степени г, получаем
Вторым граничным условием, определяющим свободную поверхность, является
равенство дц>/да> = 0 при со = со0, откуда
