Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
амплитуды а следующим образом:
т] = a cos (хх - at) -j- V2 ха2 cos 2 (хх - cot) +
+ 3/8 x2as cos 3 (хх - at) -f- . ., (1.33)
где
со2 = gx (1 -j- х2а2 + • • ¦). (1-34)
Линейному случаю отвечает первый член разложения (1.33), совпадающий с
решением (1.3), причем дисперсионное соотношение имеет вид
а2 = gx, (1.35)
согласующийся с формулой (1.21), поскольку в случае глубокой
воды надо брать предельное выражение при xh ->- оо. Эти рас-
суждения опираются на две ключевые идеи. Во-первых, утверждается
существование периодических решений (соответствующих цугу волн), в
которых зависимые переменные являются функциями фазы в - хх - at, но уже
не синусами (выражение (1.33) представляет собой разложение в ряд Фурье
некоторой функции т) (0)). Вторая основополагающая идея заключается в
том, что в дисперсионное соотношение (1.34) входит амплитуда. Это
приводит к качественно новым свойствам решения, так что нелинейные
эффекты не являются всего лишь малыми поправками.
В 1895 г. Кортевег и де Фриз показали, что длинные волны на сравнительно
мелкой воде можно приближенно описать нелинейным уравнением вида
+ (с0 + CiV) Vx + vr]xxx = 0, (1.36)
где с0, С] и v - постоянные. При линеаризации этого уравнения для очень
малых амплитуд опускают член получающееся
Гл. 1. Введение и общий обзор
20
линейное уравнение имеет решение вида
т) = a cos (хх - at), ^ ^
СО = С0К - VK3.
Этот результат можно улучшить, используя разложение амплитуды в ряд типа
разложения Стокса. Но можно поступить и лучше: Кортевег и де Фриз
показали, что периодические решения
rj = / (0), 0 = У.Х - соt
Уравнения (1.36) находятся в замкнутом виде без дальнейших упрощений и
выражаются через эллиптические функции Якоби. Поскольку решения / (0)
выражаются через эллиптический Косинус сп 0, они называются кноидалъными
волнами. Эта работа подтверждает общие выводы работы Стокса. Во-первых,
существование периодических волновых пакетов с произвольной амплитудой а
проверяется непосредственно. Во-вторых, это решение дает конкретное
дисперсионное соотношение между со, к и а, причем главным нелинейным
эффектом снова является то, что в это соотношение входит амплитуда.
Однако было обнаружено даже большее. Одним из пределов функции сп 0
(когда модуль эллиптического интеграла стремится к единице) является sech
0. Переходя к этому пределу или непосредственно решая уравнение (1.36),
можно получить частное решение
11 = a sech2 { (-g-)1/2 (ж-?/*)} , (1.38)
V - Со 1/з cia- (1.39)
В этом пределе период становится бесконечным и формула (1.38) описывает
единственный горб. Это - уединенная волна, экспериментально открытая
Скоттом Расселом [1] и впервые исследованная в приближенном виде
Буссинеском [1] и Рэлеем [2] *). Включение уединенной волны и
периодического волнового пакета в единую теорию было важным шагом.
Выражение (1.39) для скорости распространения V как функции амплитуды
представляет Собой аналог дисперсионного соотношения для этого
непериодического случая.
Хотя уравнение Кортевега - де Фриза первоначально было Выведено при
исследовании волн на воде, впоследствии поняли, Что оно является одним из
простейших уравнений, сочетающих нелинейность и дисперсию. В этом
отношении оно аналогично уравнению Бюргерса, которое объединяет
нелинейность и диффу-
¦ - 1) Доказательство существования уединенной волны в рамках точной
Тёории было дано в работе М. А. Лаврентьева "До теорп довгих хвмль", $6.
Працъ 1нет. Матем. АН УРСР, № & (1946), 13-69.- Прим. ред.
1.4. Нелинейная дисперсия
21
зию. В настоящее время оно оказалось полезным и в других областях.
В последние годы в различных областях были выведены другие простые
уравнения, также явившиеся отправными пунктами для разработки и проверки
различных идей. Среди них выделяются уравнения
4>tt - 4>хх + V' (ф) = 0 (1.40)
как естественное обобщение линейного уравнения Клейна -
Гордона и
гф4 + г|)жж + | г|) |2 if = 0 (1.41)
как обобщение уравнения Шредингера. Ниже мы вернемся к этим
уравнениям.
Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее
подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса: существование
периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных
диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в
линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако,
как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты
линейной теории основываются на использовании групповой скорости
модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье
несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой
скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже
упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных
соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к
наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл.
15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных
