Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
указывалось выше, исходное распределение амплитуды вдоль различных
групповых линий можно получить только из более полного решения. Теперь мы
изучим полученное при помощи преобразования Фурье решение для случая
однородного потока, покажем, как простое кинематическое описание
связывается с полным решением и определим амплитуды. Мы будем
рассматривать источник возмущений не как заданное исходное смещение, а
как стационарное внешнее давление, приложенное к поверхности потока,
поскольку это точнее описывает влияние плавающего тела.
При решении задач о стационарных волнах при помощи преобразования Фурье
следует соблюдать осторожность при выборе подходящего условия излучения
для обеспечения единственности. Интересно проследить, как условие
излучения в данном контексте сопоставляется с использованием понятия
групповой скорости при определении места появления волн. Неединственность
возникает вследствие искусственности предположения о стационарности
потока, поскольку течение не могло существовать всегда.
В принципе идеальный способ избежать этого - решать более реальную
нестационарную задачу с подходящими начальными условиями, приложенными в
некоторый конечный момент времени в прошлом, скажем при t = -10, а затем
в полученном решении положить t0 оо. Однако эта программа может оказаться
трудно выполнимой и перегруженной многочисленными излишними деталями, не
входящими в окончательный ответ. Упрощенный вариант условия излучения в
принципе следует этой идее и в то же время требует минимального обобщения
задачи. В данном случае будем считать, что внешнее давление на
поверхности у = 0 задано формулой
.р~?<>. = / (а;1, х2) eet, 8>0. (13.53)
Р
Это отвечает источнику, интенсивность которого практически равна нулю при
t, близком к -оо, а затем нарастает и в рассматриваемом интервале времени
близка к / (ж15 х2). Такая кон-
13.9. Волны на поверхности стационарного потока
431
струкция обладает желаемыми свойствами задачи с разумными начальными
условиями и в то же время сохраняет простую зависимость от времени. После
того как задача решена, мы перейдем; к пределу при е 0 и получим
стационарное решение.
Граничные условия (13.12) модифицируются. Во-первых, на поверхности
задается распределение давления, и, во-вторых, учитывается вклад
поверхностного натяжения. Как мы видели в § 12.3, последнее приводит к
особенно интересным последствиям при возникновении волн,
распространяющихся вверх по течению. Для малых возмущений основного
потока V в ^-направлении потенциал скорости берется равным
Ф = Ц-иЧ + Ф, (13.54)
где уФ мало по сравнению с U. Тогда линеаризованные граничные условия на
свободной поверхности принимают вид
4t + U^i - Ф? = 0, -j
Ф. + 1ГОЧ + И-!-%"= -те" } ПР" 1ШВ)
Потенциал возмущения Ф по-прежнему удовлетворяет уравнению Лапласа; для
простоты мы будем рассматривать случай бесконечной глубины, так что Ф-"-0
при у -*- - оо. Решение в виде интеграла Фурье, удовлетворяющее двум
последним условиям и меняющееся как eEt, представляется формулами:
ф = ее" j в[{у) eiy•*+*!/dv., x = |x|,j ?|т] = eei | A (*,) eivix
-oo
Далее, граничные условия (13.55) связывают А и В друг с другом и с
преобразованием Фурье F (х) функции / (х). Результат имеет вид
ч(*-">-*") (13'56)
-ОО
где
(r)о = ^х + -^-,{3 (13.57)
- дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в спокойную
воду.
Гл. 13. Волны на воде
432
Теперь можно понять роль числа е. При 8 = 0 на контуре интегрирования
находятся полюсы, определяемые уравнением
х^Т2-(о*(х) = 0. (13.58)
Контур интегрирования должен с той или другой стороны обходить каждый
полюс, но свобода выбора привела бы к неединственности. При е > 0 корни
знаменателя в (13.56) комплексны; полюсы сдвинуты с пути интегрирования,
и неопределенность не возникает. Даст ли полюс вклад или нет, зависит
тогда от дальнейшей деформации контура интегрирования и определяется
конкретным выбором обхода вокруг полюса. Значения вектора х,
удовлетворяющие уравнению (13.58), определяют, какие значения вектора х
могут дать существенный вклад; положение полюса (выше контура
интегрирования или ниже его) определяет, где будет иметь место этот
вклад.
Условие (13.58), по существу, совпадает с условием (12.23) (или с
условием (12.24) при <о = 0), выделяющим в данном потоке стационарные
волны, дающие большой вклад. Анализ, показывающий, следует ли включать
данный полюс, соответствует определению положения этих волн при помощи
понятия групповой скорости.
Одномерные гравитационные волны
Для простоты рассмотрим сначала одномерный случай и пренебрежем
поверхностным натяжением. Тогда вместо (13.56) имеем
ч<* f -Ix'l- <13'59>
Появление x = | щ | следует специально отметить; оно связано с тем, что в
преобразовании фигурируют как положительные, так и отрицательные значения
xlf и для того чтобы выполнялось условие Ф -0 при у - оо. в одномерном
случае экспонента в выражении для Ф должна быть равной
ехр (ix^! + | Xj | у).
