Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представляется разумным найти дисперсионное соотношение сначала для
постоянных значений параметров среды и затем учесть их зависимость от х и
t. Например, если в примерах
(11.6) - (11.9) а, Р и у являются медленно меняющимися функциями от х
или t, то можно использовать те же самые дисперсионные соотношения, что и
приведенные в этих примерах, но с а, р, у в виде заданных функций от х и
t. Интуитивно этот метод кажется
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
368
удовлетворительным при условии, что а, Р и у мало изменяются на
протяжении одной длины волны и одного периода. Это будет подтверждено в §
11.7 и 11.8.
Исключив из равенств (11.42) фазу 0, имеем
fgi_Li^ = o, ^L = 0. (11.43)
dt 1 dxi oxj 0Xi ' '
Подставив в первое из этих уравнений со = W (к,х,?), получим
dki . 8W dkj 8W
dt ' dkj di; dxj
Поскольку dkjldxi - dk-Jdxj, это можно переписать в виде
-ж* (11-44)
где
Cj(к, х, t)= dW{^X't] . (И.45)
Для трех измерений групповая скорость С определяется равенством (11.45) и
является скоростью распространения возмущений в уравнениях (11.44),
определяющих kt. Уравнения (11.44) можно переписать в характеристической
форме
dki SW dxt dW ... ,а.
-W=-d.п ПРИ -Ж=Ж' (11-46)
Заметим, что для однородной среды вектор к постоянен и характеристики
являются прямыми в (х, ^-пространстве. Каждое значение вектора к
распространяется с соответствующей постоянной групповой скоростью С (к).
Но это не имеет места для неоднородной среды, поскольку в этом случае
значения вектора к изменяются при распространении вдоль характеристик, а
сами характеристики больше не являются прямыми. Стоит также заметить, что
du>_______________________ 6(0 . г, бсо SW
dt dt J dxj dt
Частота на каждой характеристике постоянна, если свойства ¦среды не
меняются со временем, и переменна в противном случае.
Интересно, что уравнения (11.46) совпадают с уравнениями Гамильтона в
механике, если х и к интерпретировать как координаты и импульсы, a W (k,
х, t) принять за гамильтониан! Если не исключать 0, а вместо этого
подставить в дисперсионное соотношение со и к, выраженные через 0, то
получим
ТГ+И'(Л.*.")=0. (11.47)
Это уравнение Гамильтона - Якоби с фазой 0 в качестве действия.
11.6. Распространение энергии
369
Если W не зависит от х и t, то решение уравнения (11.46)
с начальным условием к( = /; (х) имеет вид
h = h (1), *, = ?,+ Ш) t, (11.48)
где
"" (I) = Ct{i (1)}.
Центрированное решение, соответствующее случаю, когда при t = 0 вся
область изменения вектора к сосредоточена в начале координат, можно
получить, определив k (х, t) из уравнения
= Сг (к) L (11.49)
Этот частный случай соответствует асимптотическому представлению (11.41)
кратного интеграла Фурье.
Примеры использования полученных уравнений будут приведены в гл. 12.
11.6. Распространение энергии
Предыдущий кинематический вывод показывает одну из ролей групповой
скорости и определяет геометрию волн. Другая роль групповой скорости
связана с распределением амплитуды А (х, t), заданным формулами (11.27) -
(11.28). Хотелось бы найти - по возможности в том же стиле -
непосредственный подход к описанию поведения амплитуды А и ее связи с
групповой скоростью. Это представляется реальным, поскольку, очевидно,
здесь затрагивается энергия и, по-видимому, можно непосредственно
сформулировать закон сохранения энергии. Это действительно так. Однако
дальнейшие исследования, использующие вариационные формулировки, не
только уточнили и обобщили выводы, но и показали, что основным понятием
данной теории является, пожалуй, не энергия, а "волновое действие".
Вариационный подход - дело тонкое, и полезно подготовить почву при помощи
более традиционного рассмотрения распространения энергии.
Мы начнем, как и ранее, с одномерной задачи для однородной среды и
выясним, как получить информацию о распределении амплитуды, не используя
интеграл Фурье. В этом первом подходе мы вынуждены работать с конкретными
примерами. Уравнение Клейна - Гордона
ф и - сс\хх + Р2ф == О
является одним из простейших, поскольку не содержит производных высокого
порядка. Оно гиперболическое и в этом отношении исключительное, но нас
интересуют только осциллирующие части решения, а не поведение волнового
фронта. Соответствующее
Гл. 11. Линейные диспергирующие волны
370
энергетическое уравнение хорошо известно и в случае постоянных
коэффициентов аир имеет вид
lit (4'<р'2 + Та2<р*+ тР2(Р2) + а2Ф<Ф*) = °- (11-50)
Рассмотрим теперь медленно изменяющийся волновой пакет, для которого
Ф ~ Re (Ле'е) = a cos (0 4- ц), а - | А |, ц = arg А,
и вычислим плотность энергии и поток энергии. Член типа 1/.2 фг дает
у ("2а2 sin2 (0 ¦}~ rj),
а также члены, содержащие at и г]/. Поскольку а и г] предполагаются
медленно изменяющимися, этими последними членами в первом приближении
можно пренебречь. Аналогичным образом находим вклады остальных членов,
после чего получаем приближенное выражение для плотности энергии
(о)2 -4- сс,2к2) о2 sin2 (0 -j- т]) -j- ~ р2п2 cos2 (0 -Г rj) (11.51)
