Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(9.48). В низшем порядке уравнение (9.49) дает
Члены первого порядка в (9.50) и (9.51) дают нам уравнения
(^~Т aar + uur)^-^-i'c = 0. (9.51)
дц _ _1_
дг ао
откуда
t0 = ^ + T( т).
"О
2
У-1
При решении этих уравнений следует помнить, что они являются
замаскированными линеаризованными уравнениями. Легко проверить, что
решение имеет вид
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
316
где /' (т) = -a%F (т)Т' (т). В следующем порядке (9.49) дает
dt\ ii\-\~ &\
дг а%
Отсюда
f1== - F (т) In г V -
2в0 Ч г
Полученные члены низшего порядка в точности совпадают с нелинейной
модификацией решения, описанной формулами (9.20) - (9.23), оправдывая,
таким образом, наш метод и давая последовательную схему для приближений
высших порядков.
Разложения на больших расстояниях
Вариантом этого подхода является использование разложений функций и (г,
т), а (г, т), t (г, т) не по степеням малого амплитудного параметра е, а
по отрицательным степеням г (дополненным при необходимости
логарифмическими членами) с коэффициентами, зависящими от т. Это по
существу совпадает с подходом, использованным автором в его ранних
статьях (Уизем [1, 2]).
Разложение вблизи волнового фронта
Другой подход, не в такой мере использующий разложения по степеням е,
основан на аналогии с простыми волнами в плоском случае. Полная система
характеристических уравнений для
(9.45)-(9.46) имеет вид
<9-52>
{•5-+<"+">-5г} (¦^ла+и) + ^Т-~°- <9'53>
В плоском случае член 2aulr отсутствует и для простой волны уравнение
(9.52) заменяется следующим утверждением: величина
2 а
---л---и
У - 1
постоянна всюду. В сферическом случае это заключение в точной
формулировке неверно. Однако изменение рассматриваемой римановой
переменной будет зависеть от величины интеграла
С 2аи - ,
взятого вдоль характеристики С_. Вблизи фронта волны зтот вклад будет
малым, поскольку область интегрирования мала (см. рис. 9.1).
Относительное изменение римановой переменной за
9.2. Обоснование метода
317
счет интеграла фактически будет иметь порядок а0т/г, поскольку т дает
оценку изменения времени вблизи фронта волны. Далее, из сказанного выше
следует, что наибольший интерес представ-
Рис. 9.1. Характеристики и ударная волна в случае сферических волн.
ляет область а0т/г <^1. Поэтому ясно, что предположение о постоянстве
инварианта Римана является в этой области хорошим приближением. Примем в
качестве приближения к уравнению (9.52) равенство
y=r-"-i=r; <9-м>
тогда уравнение (9.53) окажется единственным уравнением первого порядка
для определения и. При его решении потребуется интегрирование вдоль
характеристик С+ и область интегрирования вдоль С+ не мала. Это уравнение
для и имеет вид
-Й-+(ао + 1у^ м)|д+(a0 + -1Y^ и)т = 0- <9'55)
Оно почти что совпадает с уравнением (9.35) при р = 1 и может
исследоваться аналогичным образом. Полезно также сравнить уравнение
(9.55) с уравнением (6.83) для плоского случая. Точное решение (9.55)
имеет вид
где т - характеристическая переменная, которую следует определять из
уравнения
dt / . v+l \-1 1 V+1 и /п
3F-(ao+-Vu) ~ Та 2 5*' (°'57)
Равномерное приближение имеет вид
_и_ _ F (т) t~-____'V+l
в0 г • ^ а0
t ~ - - (т) 1ПГ + У (т)>
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
318
и, согласно (9.54),
2 а - а0 и F (т)
V -1 "о _ ао ~ г
Это совпадает с предложенным выше решением (9.24). Следует, однако,
отметить, что в этом подходе в отличие от предыдущего мы получаем для и и
а только приближения, соответствующие геометрической акустике. Этого
вполне достаточно для описания поведения в области а0т/г <^1, но для
определения F (т) требуются другие методы.
Когда в головной части волны имеется ударная волна, скачки энтропии и
инварианта Римана (9.54) будут величинами третьего порядка по
интенсивности ударной волны и не окажут влияния на приближение низшего
порядка.
Разложение N-волны
При наличии ударных волн типичное асимптотическое поведение
окончательного волнового профиля на больших расстояниях представляется Л-
волной с центром на предельной характеристике т0. Для сферических волн,
уточнив коэффициенты в (9.24), получим
2 CL-CL g U 2 Q.Q
{*-^ - ТДто)} (г In г) С (9.58)
Y -1 а0 аи у+1
Это указывает на то, что окончательный профиль в виде /Г-волны можно
получить непосредственно, если искать решения в виде разложений
и=*1(г)(?- ?о) + Мг)(?- &))*+••¦,
а = а0 + &1 (г) (ъ - ?о) + ^2 (т) (? - ?о)2 + • • • "
где ? = t - г/а0 и ?0 обозначает асимптотически прямую характеристику
между ударными волнами. Если эти разложения подставить в уравнения (9.45)
- (9.46), то приравнивание коэффициентов при последовательных степенях (?
-?0) приведет к цепочке уравнений для (цх, Ьх), (v2, b2), .... Первая
система уравнений такова:
(9.60)
<9'61>
Первое уравнение подтверждает соотношение между ним. Второе уравнение
можно переписать в виде
d t 1 \ . -у-H _1 _п
9.3. Звуковые удары
319
и проинтегрировать, что даст
''¦"-TtV'TTУ- <9-62>
это подтверждает зависимость от г, указанную в (9-58).
