Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. УРОВНИ ЛАНДАУ
В § 2 был изложен способ построения гамильтониана эффективной массы в магнитном поле. Теперь мы займемся решением волнового уравнения с таким гамильтонианом, т. е. определением уровней Ландау. При наличии магнитного поля траекторию кви-жения электрона в k-иространстве можно найти как линию пересечения поверхности постояппой энергии с плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного ноля, Периодическое движение в этой плоскости квантовано и описывается волновыми функциями гармопического осциллятора, тогда как движение вдоль магнитного поля описывается плоской волпой.
Для большинства экспериментов при высоких температурах и слабых магнитных лолях справедлива классическая картина движения электрона 191, При низких )|<е температурах и сильных магнитных полях оказываются существенными квантовые эффекты.
Мы рассмотрим здесь два метода квантования гамильтониана аффективной массы. Один из них — полуклассический метод квантования (оспованный на постулатах Uopa — Зоммерфельда IlO]), который можно с успехом применять при любых квантовых числах в случае простых зоп и лишь при предельно больших квантовых числах к случае вырожденных зон. Другой метод — приближенная диагонализация гамильтониана эффективной массы при помощи операторов рождения я уничтожения числа возбуждений гармопического осциллятора. 326 ' І'. Дрессе.іьхауя. M- Дрессельхаув
1. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
Условия квантования Бора — Зоммерфельда [9—12] имеют следующий вид:
ф pdq -2nh (n + o), (21)
где л —целое число, а 6 — фазовый сдвиг (6 = V2 в случае свободных электронов). На основании коммутационных соотношений
1 = —^r- (22)
можно определить капонически сопряженные переменные в уравнении (21) как р -hkx и q = (сЫеН) ку, так что условия квантования для электрона в магнитном поле примут вид
Л (Ш) =- § Ar, dku -- ^ (п -f Ь). (23)
Здесь Л ($) — цлощадь орбиты электрона, лежащей на поверхности постоянной энергии % в ^-пространстве. Преимущество такого кназиклассического метода в том, что он пригоден при любом гамильтониане эффективной массы, сколи сложным бы он ни был, и при любой ориентации магнитного поля. Метод кназиклассического квантования мы проиллюстрируем здесь двумя примерами — найдем уровни энергии в магнитном поле в случае простой зоны с параболическим законом дисперсии и в случае непараболической зоны.
Площадь орбиты в случае сферической изоэнергегической поверхности в ^-пространстве имеет вид
A (S) і= ях2, (24)
где у. — длина волнового вектора, перпендикулярного Ы. В случае зоны с параболическим законом дисперсии % (к) = (ti2l2m) X X (и2 -)- kl), так что выражения (23) и (24) непосредственно дают формулу для уровней .энергии в магнитном поле:
?„(*,)-ft«* (»4- (25)
где о= еН/тс. Эта простая формула справедлива в случае невырожденных, слабо взаимодействующих зон. Когда же энергия %п (кг) сравнима с шириной запрещенной зоны, зону проводимости и валентную зону уже неділя считать слабо взаимодействующими и следует учитывать эффекты, связанные с непараболич-ностью. Если применить условия Вора — Зоммерфельда (23) к модели двух: взаимодействующих непараболических зон с зако- Гл. 8. Маг нет о о п т иче с кие эффекты в твердых телах
327
ном дисперсии (8), то можно получить следующее выражение для энергии в магнитном поле:
s„ (Ici) = I [Ei (O) 4- Ej (0)] ± I {XEi (0) - Ei (Q) Iа -|-
Если положить здесь S = O шги 6=-1 и считать, что матричный элемент импульса Я;; между СОСТОЯНИЯМИ 1-Й и j-й зон связан с эффективной массой на дне зоны т* соотношением
(27)
ч-о выражение (26) перейдет в формулу Лэкса ІіЗІ для энергии электронов висмута в магнитном иоле. Козн и Блаунт 114] показали, что фазовый сдвиг б связан с ^-фактором электрона и что выбор 6 = 0 оказывается правильным в случае висмута почти при любом направлении магнитного поля. Такая двухзопная модель для зоны проводимости и валентпой зоны висмута была с успехом применена для объяснения магнетоотражения и магпето-поглощения на межзонных переходах [13], при интерпретации внутризоппых переходов между уровнями Ландау с малыми квантовыми числами Ц5], а также при изучении эффекта Шубникова — Де-Гааза в магнетосоиротивлении [16].
2. МЕТОД ОПЕРАТОРОВ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ
Квазиклассические результаты оказываются неверными при малых квантовых числах, т. е. при низких температурах и сильных магнитных нолях. В гаком случае более удовлетворительные результаты дает квантовомоханический подход на основе общего метода эффективной массы, изложенного в § 2. Цо при ,отом воз-пикают математические трудности, которые не всегда удается преодолеть, если гамильтониан эффективной массы очень сложен или если необходимо решение, справедливое при произвольной ориентации магнитного поля. Сравнительно простые результаты можно получить лиіпь при ориептации магяитпого по.-ія вдоль направлений высокой симметрии.
Операторы рождения и уничтожения возбуждения определяются следующим образом:
— ^ —zi- (kx + iky),
1 (28) CL-X--(kx—iky). 328
