Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
когерентных лучей •S'1i41 и S2 А„ имеет в точках Ах и Аг постоянную разность фаз А, определяемую формулой:
А = (189,6)
632
Глава XIV. Дифракционная теория изображения
Освещенность Е' в какой-нибудь точке А! плоскости изображения (рис. 259) в этом случае должна быть вычислена по формуле:
Е= 400 [(^-~)2 -+- (”L>)2 ¦+¦ Vl ^lllЫ cos Д ]. (189,7>
Не трудно найти такой угол <р, чтобы разность фаз Д была равна-^-v
для этого разность хода лучей должна быть равна "к. В этом случае формула (189,7) дает:
т. е. освещенность совпадает с освещенностью, определяемой формулой (189,5) для двух светящихся точек, а, следовательно при таком способе освещения пределы разрешения двух светящихся в несветящнхся точек совпадают. Изменяя непрерывно значения угла 9, мы получим периодические изменения множителя cos Д в пределах от -+¦ 1 до — 1; при этом освещенность в точке А', определяемой расстоянием х по фор-
муле (189,3), будет изменяться в пределах от 400
до 400 Г^— — > и соответственным образом будет периодически
U *1 *2 J
изменяться предел разрешения.
Положим, что те же отверстия А1 и А2 (рис. 262) освещаются круглой светящейся пластинкой, расположенной на таком большом расстоянии от экрана Q, что лучи, идущие из какой-нибудь точки пластинки, можно считать параллельными, а соответственные волны плоскими* На рис* 26S Ах и As — отверстия экрана Q, ОМ—один из лучей пучка параллельных лучей из какой-нибудь точки светящейся пластинки. Ои обравует угол 9 с линией Аг А%, вдоль которой направляем ось у-ов, и угол ф с оптической осью системы, которую принимаем за ось х>ов. Проекция ON луча ОМ на плоскость YOZ образует с осью д>ов угол X* Названные углы удовлетворяют соотношению:
cos 9 = sin ф sin х;
§ 189. Разрешающая сала оптической системы в случае несветящегося предмета 633
поэтому вместо формулы (189,6) получаем:
л___ 2ке sin ф sin х
Световой поток, излучаемый элементом площади светящейся пластинки, пропорционален косинусу угла между нормалью к пластинке и направлением луча, т. е. пропорционален cos ф; этот поток заполняет элементарный телесный угол da>, для которого находим:
dm — sin фс/ф
Для вычисления освещенности Е' в точке А' плоскости изображения (рис. 259) необходимо сложить освещенности, даваемые всеми элементами светящейся пластинки, т. е. выполнить интегрирование в формуле:
2/i h '*%) / 2тсе sin Ф ?in у \ I , . ,, ,
ч—— z go • COS (-------------j-1---- J J sin ф cos J dll
(189,8)
интегрирование по углу X выполняется в пределах от 0 до 2яг, по ф от О до -ьф, где ф — угол мея-ду осью ОХ и лучом, проведенным из точки О в какую-нибудь точку окружности, ограничивающей светящуюся пластинку. Предварительно преобразуем выражение в скобках под знаком косинуса; очевидно, что
е'
е=т,
где е' — расстояние между центрами геометрических изображений отверстий Аг' и А2г на рис. 259 и fi — линейное увеличение системы. По закону синусов (102,2)
где А — апертурное число системы в пространстве предметов, р— радиус выходного зрачка системы и R — радиус сферической волны (рис. 248). Расстояние е' выражаем в оптических единицах по формуле (183,4), что дает:
, IRx
е = о--- 1
2тср
где х—величина, уже введенная ранее в формуле (189,3). После всех подстановок находим:
27ге _ X __ Z] -*2
~Т~А~ А
Переходим к вычислению интегралов в формуле (189,8). Первый интеграл, дает:
Ф=|)| )t=*t
| J sinфcosфfi^фc^x:=,гs^n2ф•
Ф~о х=о
634
Глава XIV. Дифракционная теория изображения
Для вычисления второго интеграла польвуемся тем же приемом, каким была получена формула (183,5); не повторяя вывода, выписываем •окончательный ревультат:
П/2г«ашФипг\ . I I it г 2лЛ sin$" г \
cos(—----%---^]вт^созф(/ф</х =----*---Л {—Z—} ’
Л —функция Бесселя 1-го порядка.
Подставляем найденные значения обоих интегралов в формулу (189,8) и находим:
Л’—400 тс sin* ф
(Ja1ii)\2+ AM*l)Jl{*i)Jl((Zl А_вт
V, *1 / \ *а / zj га (*i — га) aio Ф
А
(189,9)
Угол ф есть половина угла сечения конической поверхности, ограничивающей телесный угол, внутри которого заключен световой поток, ивлучаемый пластинкой иа отверстия Ах и А2; угол 2ф можно назвать поэтому апертурным углом освещения, a sin ф — апертурным числом освещения по аналогия с апертурным числом системы (§ 103). Вводим обозначения:
Ао=я inf и (189,10)
Формула (189,9) принимает такой вид:
?' = 400тгД2 [(~~J-+• (^-У-ь W ’ (189,11)
Применим эту формулу для вычисления освещенности Е' в предельном случае плоской волны, когда вместо светящейся удаленной пластинки мы имеем удаленную точку. Очевидно, что в этом случае ^ = 0 и j40 == 0;
пред и выражение в прямых скобках обращается
в квадрат суммы, т. е. совпадает со значением скобки в формуле (189,4). Множитель перед скобкой обращается в нуль, т. е. в случае плоской волны формула дает Е'=0; это правильный результат, так как пучок строго параллельных лучей нз может обладать энергией; формула (189,4) дает освещенность, - совдаваемую пучками параллельных лучей, заполняющих весьма малый телесный угол, ио не равный нулю.
В случае бесконечно большого экрана ^ = sin <j/= 1; третий член в скобках формулы (189,11) не равен нулю даже при предельном значении апертурного числа системы, когда А = 1; но так как абсолютное значение функции Бесселя 1-го порядка не превышает 0.5 и даже 0.2, то этот член имеет малые значения н тем меньшие, чем больше z, — z^ — расстояние между ивображениями отверстий; практически освещенность в этом случае мало отличается от освещенности в случае светящихся некогерентных точек, как это видно на сравнения с формулой (189,5).
