Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Условимся в дальнейшем такие разности представлять при помощи символа л в таком сокращенном виде:
Вспомогательные. параксиальные лучи отличаются один от другого только тем, что они выходят из различных точек оси, определяемых расстояниями s и х от первой поверхности оптической системы; по существу безразлично, какую из двух плоскостей считать плоскостью предметов, а какую — плоскостью входного зрачка. Поэтому из каждой формулы можно получить новую путем замены всех букв s буквами х и наоборот букв х буквами s, а также всех высот h высотами у и высот у высотами h, всех инвариантов Q„ инвариантами Qr и т. д.
Исходными уравнениями являются уравнения (127,1), из которых иаходим:
___A' V____ h Xj h *1 _ 3i_ .
—-О S, — X, S]--*, if, ’
m,' s,'_____т/ s, _ m; st A;
X;' Sj -- X,- S; X; hi ’
(127,14>
(127,15).
(127,16)
$ Г П
(128,1)
Деля первое уравнение на n’t а второе на п и вычитая из первого второе, находим:
1 * 1 ^ . 1
§ 128. Некоторые вспомогательные формулы и преобразования
431
Без вывода для второго вспомогательного луча имеем:
А — = — Д---Qxi-T* (128,3)
71X Г П 71" . ' 9 '
Из этих двух уравнений вытекают следующие соотношения между инвариантными выражениями:
* 1 1*1 * 1 1 л 1 ^ 1 1 л 1
Д-----Д— Д---------Д— Д—гг-----Д —
TIS Г П ПХ Т П __ 71S Г 71 _ . 1 лл
—г—=—s—=—5.—<128’4>
s и Q, относятся к третьему параксиальному лучу, определяемому расстоянием S.
Первое из уравнений (128,4) можно написать в таком виде:
<128,5)
Возвышая во вторую степень оба уравнения (128,1), вычитаем из, первого второе:
Л — = — '* А —- -+- Q 2 А — •
S2 г п ^ П2
Исключая из этого уравнения и уравнения (128,2) разность А-Аг-, находим:
А \ = — Q А —----------А 1 , (128, 6)
® /IS Г 71 \ » /
а также путем замены буквы s буквой дг:
А — Q А —--------------О* а — • (128,7)
xi х пх г п \ » /
Из уравнения (127,3) имеем:
Л=-~ —^ и -1- =_1_3. (128,8)
X Г п X Г п \ 7 /
Вычитание из этих уравнений соответственных уравнений (128,1) дает:
1 1 _ Q, - Qx .
J____1 _Q.-Q,
X S п
Умножая первое уравнение на > а второе на -- и вычитая из первого уравнения второе, находим:
432
Глава XI- Теория аберраций третьего порядка
Подстановка в это уравнение вместо Д его значения из уравнения (128,6) дает:
---^-Д-1 • (128,9)
XS х ns г п '
Переставляя буквы х и s, без вывода находим аналогичную формулу: д 1. = — Q д -1— 2гд -L. (128,10)
xs ^ пх г п ' ’
Исключение из этих уравнений разности Д-^- приводят к формуле:
¦ (128,11)
Определив из уравнения (128,7) разность Л—, подставляем най-
денное ее значение в формулу (128,11); это дает:
о: ь-h- v * i - (<ъ- <у ^ - <<ъ - <u | * v] • <128-12>
Из уравнений (128,9) и (128,10) исключаем вторые члены в правых частях, подставляя их значения из уравнений (128, 6) и (128, 7), и находим:
(128.13)
(128.14)
Подставляем в уравнение (128,11) вместо разности Д-~ ее значение из уравнения (128,13) и находим:
Qx д ~ а (2а - а) д -1- - «г, •- qj * ^. (m is)
а также после перестановки букв ха s:
Q*X-L = Qs(2Q;-Q,)\{;+(Q,-Qs)b-l, . (128,16)
К обеим частям уравнения (128,16) прибавляем произведение Q* Д"? после приведения находим:
V (-' i- ¦4 ?)=:2<з. <3.4 i - «3- - «¦>4-i- <128.17>
В уравнениях (128,15) и (128,16) заменяем А —и Д-g- их значениями из уравнений (128,7) и (128,6); ато дает:
Qr2 Д — = Q, Q. Д (128,18)
ns пх г п ' ’
Q/ Д -1 = О Ов Д Д J (128,19)
n.v “ ns л п
§ 128. Некоторые вспомогательные формулы и преобразования 433
Складываем эти уравнения и результат приводим к следующему виду:
Q, Q, (* s -'1 i)=V 4 -h - 4 ;У- «г, ¦- 0.)!т 4 ” • <128.2(|)
Переходим к выводу соотношений между ординатами точек преломления вспомогательных параксиальных лучей и прочими величинами, к ним относящимися.
Ординаты у( точек преломления второго вспомогательного луча могут быть выражены в зависимости от таких же ординат А,, первого вспомогательного луча и расстояний с/, между вершинами преломляющих поверхностей. Для вывода соответственной формулы находим из рассмотрения рис. 229 следующие соотношения:
= и (128,21)
1 *1—1 Щ—1 *1—1
по известному свойству пропорций имеем:
Ы ^1—1 ____ si si—1 У i 9i—1 ___ xi *1-1
^i—l sj—1 Si—1 ¦*<—1
На основании уравнения (127,2) и аналогичного ему уравнения:
= *U ~ х{,
имеем:
1 — ^ di—l У1—1 Si di— 1
----J------=—7— И -------------------- ------
я>-1 s,_l Hi-1 *j_i
Вычитаем из первого уравнения второе:
-*-¦—7^ = - (-?----------1-)(<3, М- <3,
i/i—1 • ^i—l \ дг1—1 s<—1 / "s'-l
Умножим обе части на г/^j и разделим на /г,.:
Л—1 _ I Л—1 //-Ч /-) V
, --- “<-1 ' г (Че, ,•_! QSi,_l).
"( i ni_i N
Пользуясь инвариантом Зейделя (127,12), приводим это уравнение к виду:
т- л—^-^=rLir(Q- “ Q*J- (128’22)
Л< Л,-
Применяем это уравнение к первым г преломляющим поверхностям и складываем полученные г уравнений; результат можно написать в таком виде:
У=<
А,- Q.i)^ пуЛуА,._г
У—2
28 л. и. Т v tnnnnrK irii
434 Глава XI. Теория аберраций третьего поряДкй
г-r А
После умножения обеих частей уравчения на — приходим к искомой формуле:
й =?- М.1 -rU , (128,23)
