Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Г к. - -~ \tYlX) = *-;- "---------------------------"
ai к } at
Л 1
= <25-2>
Надо заметить, что согласно этим определениям сила и ускорение могут,
вообще говоря, не совпадать по направлению, в отличие от того, что было в
ньютоновской механике. Преимущество этих определений состоит не только в
том, что сохраняется принцип равенства действия и противодействия, но и в
том, что упрощается интерпретация электромагнитных явлений. 3 этом мы
убедимся в § 29.
Так как нам уже известны правила преобразования (10.2),
(12.1). (24.1), (24.2) всех величин, стоящих в правых частях
(25.2), легко получить и уравнения для преобразования компонент силы. Они
могут быть записаны в виде
с р' , lv г¦' иУ С'
х 1 х ~Г c*+uxV у съ±ихУ '
= c2V^V~f F'e, (25.3)
c2+uxV
Р с* Vl-Wc* р> c*+u'x/V
Эти правила преобразования получены для частного случая сил, действующих
на частицу и изменяющих ее движение. Заметим, однако, что частицы могут
изменять состояние движения не только из-за взаимного воздействия друг на
друга, но и под влиянием иных, более сложных механических систем или при
взаимодействии электромагнитного характера. Если мы желаем сохранить во
всех разделах физики закон равенства
*) Мы включили т0 внутрь скобок под знак дифференцирования. Это делает
соотношение (24.2) применимым также, когда изменяется собственная масса
частицы, например в случае притока теплоты.
60 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
действия и противодействия, а тем самым и закон сохранения импульса,
очевидно, что для всех сил вне зависимости от вида систем, на которые эти
силы могут действовать, должны быть справедливы одинаковые правила
преобразований. Это обстоятельство окажется очень важным для обобщения
динамики, включающего в себя механику сплошных сред.
§ 26. Работа и кинетическая энергия
Как и в ньютоновской механике, удобно определить проделанную над частицей
работу как произведение действующей на частицу силы на расстояние,
пройденное частицей, т. е. с помощью равенства
dW=?-dr, (26.1)
где г - радиус-вектор, определяющий положение частицы. Будем также
считать, что энергия, приобретенная частицей под действием силы, равна
работе, проделанной над этой частицей.
В случае, когда мы производим работу над свободной частицей, легко
определить увеличение ее кинетической энергии через изменение ее
скорости. Подставляя в уравнение (26.1) определение силы (25.1), можно
подсчитать увеличение кинетической энергии частицы следующим образом:
dE = m^r -dr -f ^ u-dr = mu-du-fuudm=mnd"-"2dm. (26.2)
Подставляя сюда выражение массы как функции скорости
(23.6), получаем
, г, тм du ¦ тмя/с%йи т,.и &ч /rw.
dE =----------, л--------з § • (26.3)
(1 -и2;с2)2 (1 -u2jc2)2 (!-
2
Отсюда видно, что, как и в ньютоновской механике, кинетическая энергия,
сообщенная частице, является функцией лишь изменения ее скорости
независимо от вида пути, на котором это изменение произошло. Далее, из
уравнения (26.1) и из принципа равенства действия и противодействия
следует, что при упругом столкновении в результате взаимодействия двух
частиц происходит увеличение кинетической энергии одной частицы и
соответствующее равное по величине уменьшение кинетической энергии другой
частицы. Таким образом, и в релятивистской механике имеется аналог
прежнего закона сохранения живой силы для упругих соударений.
Интегрируя выражение (26.3) от 0 до и, находим, что частица, имеющая
массу покоя т0 и скорость движения и, обладает
§ 27. МАССА, ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
61
кинетической энергией, равной
Е = - - т0с2. (26.4)
/1-и2/с2 0
При скоростях, малых по сравнению со скоростью света, эта формула, как и
следовало ожидать, сводится к известному ньютоновскому выражению для
кинетической энергии
Е=-^-т0и2. (26.5)
§ 27. Соотношения между массой, энергией и импульсом
Рассмотрим теперь очень важное соотношение между массой и энергией, не
имеющее аналога в механике Ньютона. Согласно § 23 и § 26 и масса и
энергия частицы зависят от скорости и возрастают вместе с ней. Подставим
выражение массы как функции скорости (23.6) в формулы (26.3) и (26.4),
описывающие увеличение кинетической энергии с ростом скорости. Мы
обнаружим, что прирост кинетической энергии частицы из-за увеличения ее
массы выражается замечательно простым соотношением:
dE=c2dm, (27.1)
а полная кинетическая энергия частицы окажется равной
Е=с2(т-т0), (27.2)
где т0 - масса покоя частицы. Согласно этим уравнениям изменение
кинетической энергии в эргах равно изменению массы в граммах,
помноженному на квадрат скорости света в см/сек.
Посмотрим теперь на различные следствия этой замечательной
пропорциональности между увеличением массы и увеличением кинетической
энергии.
Поскольку мы приняли, что закон сохранения массы есть фундаментальный
постулат, справедливый не только для системы частицы, но и для
произвольных систем, то из пропорциональности массы и кинетической
энергии, вообще говоря, сразу следует, что любая изолированная система
