Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1.36) из условия нулевой кривизны достаточно использовать лишь формулы
(1.41) -
В дальнейшем мы убедимся, что модель JI - JI является в определенном
смысле универсальной и приведенные выше модели получаются из нее
различными предельными переходами.
Все рассмотренные до сих пор модели допускали представление нулевой
кривизны с 2x2 матрицами U(x, t, X) и V(х, t, X); другими словами,
соответствующее расслоение (см. § 1.2 части I) имело в качестве слоя
пространство С2. Это пространство принято называть вспомогательным,
поскольку оно определяет матричный характер вспомогательной линейной
задачи.
Двумерность вспомогательного пространства отнюдь не является непременной
принадлежностью метода обратной задачи. Многие интересные для физических
приложений модели требуют введения вспомогательного пространства большей
размерности. Приведем характерный пример.
U (X, t,Х) = у ^ Ua (X) SaOa,
(1.37)
<1=1
3 3
3
3
(1.38)
где
"1 (*-) = Р
и
0 < k <-1
(1.40)
а
Р- " YJS 7], р Д
2
0.
(1.41)
Ua(X) - и"ь(Х) = - (Jb - Ja)', a,b = 1,2,3, (1.42)
4
(1.42).
260
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
4. Векторная модель нелинейного уравнения Шредингера (векторная модель
НШ). Динамическими переменными являются комплекснозначные вектор-функции
фДх), фДх), а= 1, п, описывающие заряженное поле с п цветами. Уравнения
движения являются непосредственным обобщением обычного уравнения
Пуассонова структура на фазово.м пространстве задается скобками Пуассона
где интегрирование ведется в соответствии с граничными условиями,
обобщающими таковые для обычной модели НШ.
Система уравнений (1.43) обладает естественной ?/(я)-инва-риантностью,
так что квазипериодические граничные условия ьыглядят следующим образом:
где ф(х)-вектор-строка с компонентами фДя), а=1, ..., п, a U - постоянная
унитарная матрица в С".
Матрицы U(x, t, к) и V(x, t, к), участвующие в условии нулевой кривизны
для векторной модели НШ, имеют вид
(сравни с обычной моделью НШ в § 1.2 части I), где в блочной записи
НШ
(1.43)
{Фа (X), ф* (у)} = {Фа (X), Hi (У)} = 0
(1.44)
{фаи, фб(у)} = iM(X-у), а,Ъ= 1, . .., п.
а га.мильтониан модели имеет вид
(1.45)
ф (x + 2L) = г|'j{x)U,
(1.46)
U(k) = U0 + kUu Va) = V0+?^i + ry2 (1.47)
(1.48)
и
§ 1. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЕЙ 261
Здесь ф*(*)-вектор-столбец, эрмитово сопряженный к вектору-строке ф(х), а
0 обозначает нулевой блок размерности пХп.
Эти формулы допускают обобщение и на другие случаи, например когда ф(дс)
является матрицей размерности п^Хпг. Наиболее общая ситуация описывается
в терминах однородных пространств компактных групп Ли.
Этот пример мы привели лишь для иллюстрации важности многомерных
вспомогательных пространств. Исследование вспомогательной линейной задачи
для систем общего вида размерности, большей 2, существенно сложнее, чем в
двумерном случае, и в этой книге не будет обсуждаться.
На этом мы заканчиваем перечисление основных непрерывных моделей.
Завершим этот параграф общим замечанием по поводу наблюдаемой типа
импульса Р, являющейся генератором сдвига по пространственной переменной
х, т. е.
{р, ф(*)} = _^е-(*) (1.50)
dx
для произвольной локальной наблюдаемой ср(х). Покажем, что импульс Р
допускает явное выражение через 2-форму О, задающую симплектическую
структуру.
Именно, пусть М - многообразие размерности п с симплек-тнческой формой
ц>. Рассмотрим фазовое пространство Ж, образованное функциями и(х) со
значениями в многообразии М, удовлетворяющими периодическим или
быстроубывающим граничным условиям. Многообразие Ж имеет естественную
пуассо-нову структуру, которая в локальных координатах иа(х), а = = 1,
..., п, задается скобками Пуассона
{иа(х), иь(у)} = у\аЬ(и(х))8(х-у), а, Ь = \, ..., п, (1.51)
где r|Qb образуют матрицу Якоби г] пуассоновой структуры на М.
Соответствующая симплектическая форма И имеет вид
й (и) = j о) (и (*)) dx, (1.52)
где
(о (и (х)) = - 2 tf' {и (*)) dua {х) /\ dub (х). (1.53)
l<ia<b<in
Здесь интегрирование ведется в соответствии с граничными условиями, а
т)аЬ- матричные элементы матрицы г)~\ обратной к п:
П
2 ¦fT'lc* = (1 -54)
С-1
262
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Форма о" замкнута, поэтому имеем (по крайней мере локально в
фиксированной карте на многообразии М)
Принято говорить, что 1-форма 0 является (локальной) первообразной 2-
формы ю, Q = d~i(o. Отсюда получаем, что и форма Q (в тех же координатах
на Ж) имеет первообразную 0, где
Форма 0 инвариантна относительно сдвига по переменной х. Согласно общим
правилам гамильтоновой механики импульс Р - генератор сдвига по х -
получается в результате примене-
В справедливости формулы (1.50) для так определенного функционала Р в
случае ср(х)-иа{х) легко убедиться и непосредственно, используя равенства
(1.51), (1.54) и (1.57).
Функции иа(х), а=1, ..., п, определяют, в силу граничных условий,
замкнутый контур на многообразии М-1-цикл 4, так что формула (1.58) может
быть переписана в виде
