Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим теперь, что свойства гладкости ядер Г(х, у, z) и Г(х, у, z), как
это показывают уравнения (3.34) и (3.35), те же, что и у функций ф(х),
ф(х). В частности, для бесконечно дифференцируемых ф(х), ф(х) ядра Г и Г
бесконечно дифференцируемы по всем аргументам. Поэтому в интегральных
представлениях (3.32) и (3.33) можно многократно интегрировать по частям.
Йспользуя дифференциальное уравнение для матрицы Е (х, к), отсюда
получаем асимптотическое разложение
34 ГЛ. 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
для Г (х, у, X) при больших вещественных X:
Т (х, у,Х) = Е(х - у,Х) + у. Тп (У' У) Е(х - у, Х)+
fc-1 П П
П=1 ^
+ 2 Тп {Х'У)-Е(у-Х, X) + 0(|Я1-"). (3.43)
Я=1 Г
Вернемся теперь к матрице монодромии TL(X). Для нее имеют место
представления
2 L
TL (Я,) : Е (2L, X) + Г (L, -L, х - L) Е (х, I) dx (3.44)
-.L
И
2 L
TL (X) = Е (2L, X) + J Е (х, X) Г (L, - L, L - х) dx. (3.45)
-2 L
Для коэффициентов перехода aL{%) и bL(X) отсюда получаем
?
aL (X) = е-'7х 4- cil (х) e~ilx dx (3.46)
-L
И
L
bL(X)= $M*) e*?dxf (3.47)
-L
где
al (x) = 2a (L, - L, 2x - L) = 2a (L, - L, L - 2x), (3.48)
h (x) = 2${L,-L,2x - L) = 2p (L, - L, L + 2x). (3.49)
Таким образом, целые функции aL(^,) и ЬДЯ) имеют экспоненциальный тип L и
в случае бесконечно дифференцируемых функций яр (ас) и яр (ас) допускают
асимптотические разложения (3.24) и (3.25).
На этом обсуждение аналитических свойств заканчивается. Производящая
функция FL(X) следующим образом выражается через коэффициент aL(X):
El (X) = tr Tl (a) Q (0) = aL (X) e^- -f aL [X) ег'^\ (3.50)
Тем самым коэффициенты ап, ап участвуют в построении инте-
гралов движения. В следующем параграфе мы приведем явную процедуру их
вычисления в терминах ф(х), ф(х).
§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
35
§ 4. Локальные интегралы движения
Семейство интегралов движения, порожденное производящей функцией
FL(X)=tr Tl(K)Q(Q), (4.1)
до сих пор не было охарактеризовано достаточно явно. Здесь мы покажем,
что функция
Pl (А) = arccos j Fl (А) (4.2)
является производящей для локальных интегралов движения, и дадим явную
процедуру для их последовательного определения через ф(х) и ф(х). Под
локальными функционалами мы подразумеваем функционалы на фазовом
пространстве вида
_ L
Е(ф,г)¦)= JP(x)dx, (4.3)
-L
где Р(х) является полиномом от ф(л:), i|)(x) и их производных в точке х.
Естественно, что квазипериодические функции ф(х), ф(л:) предполагаются
бесконечно дифференцируемыми.
Упомянутая процедура будет основана на асимптотическом разложении pL(K)
при больших вещественных А
Pl(F) = - AL + - + и ^ -7 + О (| А | ), (4.4)
I X
П=1
которое следует из (3.24), (3.50) и (4.2). Здесь мы покажем, что
коэффициенты /" являются локальными функционалами от ф(д:) и г|)(д:).
Для этого рассмотрим сначала матрицу перехода Т(х, у, А). В предыдущем
параграфе мы доказали, что для нее справедливо асимптотическое разложение
(3.43). Покажем, что это разложение можно перестроить и привести к виду
Т(х, у, X) = (/+ W(х, А))exp Z(х, у, A) (I+\V(y, А))-1, (4.5)
где W и Z являются соответственно антидиагональной и диагональной
матрицами, допускающими при |А|-"-оо асимптотические представления
°° W (г)
W(x, А) = 2 ^ + 0(| А И, (4.6)
fc-1 л tl Л=1 л
Z (х, у, А) = JizrA^L- + ? + о (1А 1-). (4.7)
2i ^ хп
п=1
Очевидно, что разложение, порожденное правой частью (4.5), имеет
структуру (3.43). Поэтому для доказательства (4.5) до-
36
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
статочно показать, что коэффициенты Wn(х) и Zn(x, у) однозначно
определяются по матрице Т(х, у, X). Для этого мы используем
дифференциальное уравнение (3.5) с начальным условием (3.6), однозначно
характеризующее Т(х, у, X).
В геометрических терминах формулу (4.5) можно интерпретировать как
калибровочное преобразование (см. (2.19)) с матрицей G(x, k) = (I+W-(x,
Я,))-1. Это преобразование асимптотически приводит матрицу перехода к
диагональному виду expZ(x, у, Я). Альтернативно можно сказать, что это
калибровочное преобразование асимптотически приводит к диагональному виду
матрицу U (х, Я) из дифференциального уравнения (3.5).
Вернемся теперь к задаче (3.5) -(3.6) для Т(х, у, Я) и определим матрицы
W(х, Я) и Z(x, у, К).
Для этого подставим представление (4.5) в уравнение (3.5), сократим на не
зависящую от х матрицу (I+W(y, Я))-1 и отделим диагональную и
антидиагональную части. В результате получим систему уравнений
+ W - = U0 + %UXW, (4.8)
dx дх
Щ- = U0W + Wlt (4.9)
дх
где мы опять использовали разложение U(x, K) = Ut(x) +XUlr
1 dZ
Ui= - оо. Исключая - из (4.8), получаем для W нелинейное
2 i дх
уравнение типа Риккати
- + ika3W + WU0W - U0 = 0, (4.10)
dx
где мы учли, что матрица Ut антикоммутирует с W.
Дифференциальное уравнение (4.9) вместе с начальным условием Z(x, у, Я)
|x=s"=0, вытекающим из (3.6), элементарно интегрируется:
X
Z (X, у, Я)= к(Х~У}- о3 + ^U0(Z)W(Z,K)dz, (4.11)
У
определяя асимптотический ряд (4.7) по асимптотическому ряду (4.6) для
W(x, Я).
