Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
перемешивающейся системы функции Yy, 23 и Glt 23 должны достаточно быстро
убывать при бесконечном увеличении модуля хотя бы одной разности .tt -tm
входящих в них времен. В самом деле, из (49) или (50) видно, что для
исчезновения коррелятора {By, В г, В 3)о при щах | tf - tm | -у оо
необходимо, чтобы при
I, tn
этом исчезала функция Кх,23.
Чтобы получить коррелятор {By, В2, В3)0 во временном представлении,
следует проинтегрировать (49) или (50) по ty, t2, t3. При интегрировании
необходимо уточнить произвольные константы интегрирования или в данном
случае (вследствие наличия нескольких переменных) произвольные функции.
Возникающая неопределен-' ность имеет вид суммы
ф (t-м) + ф' (ti2) + ф" (tyз) + const, (17.51)
которая при действии на нее оператора рур2р3 обращается в нуль. Здесь ф,
ф', ф" - произвольные функции. Конкретизируя сумму (51), из (49) после
интегрирования можно получить как коррелятор,
167
так и момент (они отличаются при (В()" Ф 0). В формуле (47) во временном
представлении также имеется интегрирование, соответствующее операторам
(ргра)-1, (PiPs)"1. (PiPa)-1- Благодаря этому также появляется аддитивное
неопределенное выражение (51).
В случае перемешивания коррелятор (Ви В2, В3)" принципиально отличается
от выражения (51) тем, что он исчезает при шах | t, -¦ tm | оо, а
выражение (51) в общем случае не исчезает.
I, т
Это отличие следует использовать, чтобы получить выражение для
коррелятора, лишенное всякой неопределенности. При этом формуле (50)
соответствует формула
P{Ba{tx), в, (U), B,(t3))0= J J Ga, v6 (tlt t', t")dt'dt" -
-oo -00 t 2 00
-eeevee J dt' j Ge, ya (-13, -f, -t")dt" (17.52)
^3"0 t\
при t2^ t3. В самом деле, если произвести дифференцирование по ib t2 и
t3, то, как легко проверить, получим (50), а если устремить в (52) к
бесконечности tx - t2 или t2 - t3, то (в случае достаточно быстрого
исчезновения функции Gh 23 при max (t12, t23) оо) в пределе получим нуль,
как это и должно быть для перемешивающейся системы.
6. Трехиндексное соотношение для производной от коррелятора по внешней
силе. Производную от коррелятора
Gi2, з= [в (BiB2)/8h3]h=o (17.53)
в равновесной точке называем биадмитансом.
Мы предполагаем, что (Bi)0 = 0. Если (Вi)0 Ф 0, вместо (53)
следует брать формулу G12,3 = б (Вх, B2)/Sh3 при h (t) = 0. Одно из ФДС
квадратичной теории связывает биадмитанс (53) с адмитансом C?i,23*
Займемся его выводом. Очевидно, имеем
"(fljfl") fifll D D SB,
Sk3 6h3 2 1 1 Sk3
Применяя формулу (16.37), отсюда получаем -"бДд ^ = X1113 [Вг> В3\.
Усредняя последнее выражение и полагая h (t) = 0 в соответствии с (53),
будем иметь
(ft/i) G12, з= Ли ([Дь В3] В2)0 -ф т|2з (?i [В2, В3])0. (17.54)
Справа стоят равновесные средние.
Используя формулу (16.56) при D0 = и Q = [В2, В3], находим
(В, [В2, В3])0 = ГГ ({В,, [В2, Вз]1)0 = -rtV23, (17.55)
168
и аналогично
<[ВЬ Вз]В2)о = ГГ3<[[В,, В3], В2]>0 = -Г2-У132. (17.56)
Вследствие (55) и (56) формуле (54) можно придать вид
з = Фз (Гг^ш) + 112з (rfl^23i)- (17.57)
Поскольку Г2 во временном представлении содержит р2 = dldt2, а = Л (G. -
t3) не зависит от t2, функция г|13 коммутирует с Г2. По той же причине
ri23 коммутирует с Г*. Следовательно, (57) можно записать так:
ihG\2, з = Г2 (Ц13Нi32) -f- IT (Лгз^гзО- (17.58)
Используя (40), а также (41), нетрудно получить
3112123 = Ol23 Т" fl132 - 0213 - 023i = -ff (Gi, 23 - G2l 13)-
Поэтому из (58) находим
- (i/fi)Gi2, з = Г2 (Gi, 32 - G3, i2) -j- (G2, 3i - G3,2i).
Объединяя два члена с G3,u, окончательно будем иметь
Gi2, з = Ш [r2-Gi, 23 + Г^02,13 - (гг + гt) GI 12]. (17.59)
Это и есть искомое ФДС.
Если в (59) поменять местами индексы 1 и 2, а затем сложить полученное
равенство с (59) и сумму поделить пополам, то получим формулу
/osym I Г ^([^1, В2]+) 1
&,2-3 = - L W3 Jhs0-
= т [Г2Gi, 23 + Г|G2, 13 - (Г, + Г2)G3> ,2]. (17.60)
В неквантовом пределе П ->• 0 из (59) или (60) получаем равенство
(JG.2, 3 = р2 ]Gi, 23 Т" Pi 'G2, 13 -)- PsPi lp2 'Gl 21. (17.61)
7. Линейные и квадратичные ФДС с модифицированными адми-тансами.
Функция F1>23 = PiG1>23 - это модифицированный квадратичный адмитанс.
Аналогично этому линейный модифицированный адмитанс определяется
равенством Ё1)2 =p1G1,2. Используя Е1>2, после дифференцирования обеих
частей равенства (6) по tx и t2 будем иметь
Yi2 = kT&2(Yi,2 + Y2, ,), (17.62)
где обозначено F12 = (Ви В2)0 = (Jlt J2)0, а также
(r)± (р) == фПрТ± (р). (17.63)
Из (31) дифференцированием по tlt учитывая, что рг = -р2, для
модифицированного адмитанса получим соотношение взаимности
Yuz = Yi , или Fa, р(ii2) = е"ерЕр, а(/i2). (17.64)
169
Квантовое квадратичное ФДС с модифицированным адмитансом можно получить
из (44) дифференцированием по tu t2, t3. Оно имеет вид
к,23 = (kT)2 [(c)-ГОГ {УI, 23 - К?. 23) + @^(c)3~(К2> ,3 - К2В, ,з) +
+ eW(K3> 12 -VI. 12)1. (17.65)
где К12з - (Jit J2> Jз)0-
Наконец, дифференцируя соотношение (59) по G и t2 и обозначая [6 (У1(
У2)/б/г3 ]^=о = К12) з, получаем
