Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению удовлетворяет вероятность перехода W (у (t) | У (О).
Обозначая у (4) = у(1), у (4) = У(2)> вероятность перехода ^ 4/ (4) | У
(4)) целесообразно записывать так: wt2tl (у(2) | у(|))> явно указывая,
что она является функцией времен 4 и 4- При этом уравнение (6) можно
переписать в виде
J т^Ау\у')т^Ау'\У")йу' =mitl(y\ (3.7)
где у = у (4), у' = у (4), у" = у (4).
Введем условную характеристическую функцию
0^2 (iu I У') = j ехР 4й л У) (У I У') dy (3.8)
Г
приращений Ау = у - у' = у (4) - у (4), где цДу = ? паДуа.
а=1
Она представляет собой фурье-преобразование от wt,tt (у | у')-При помощи
обратного преобразования можно выразить wt3t2 (у\у') через
характеристическую функцию:
П"ии (у I у') = (2л)-"г j ехр [- ш (у - у')] 0Мг (ш | у') е?и. (3.9)
Подставляя (9) в (7), находим
(2n)~r J (c)^"(ш | у')ехр [- iu (у-у')] оуу, {у' \ у") dudy' = notyt (у |
у").
32
Нетрудно видеть, что последнее равенство можно записать так:
(.2п)~г | 0,з,, (- д/ду | у') ехр [- iu (у - у')] wt,tl (у' | у") du dy'
=
= ""/,<, (у | у')-
Будем, в первую очередь, производить интегрирование по и, используя
формулу 00
(2л)~'г | eiazdu " б[(z) = б (zx)... б (zr),
-*¦00
представляющую собой известное интегральное представление дельта-функции.
После этого будем иметь
| (r)tat, (- д/ду | у') б (у - //')>/,/, {у' | у") dy' = wt,tl (у \ у").
Благодаря свойствам дельта-функции интегрирование по у' является
тривиальным. Оно дает
Nd,ySt3t2 ~ y)wi2il{y\y") = wt3tl(y\y"). (3.10)
Здесь мы поставили символ Ng, у, который отмечает, что дифференцирование
производится в последнюю очередь, т. е. что операторы д/дуа располагаются
левее операторов умножения на уа.
Полученное равенство (10) совершенно эквивалентно уравнению
Смолуховского-Чепмена (7). Если использовать формулу (1.4), дающую
представление характеристической функции в виде ряда по моментам, то
получим еще одну форму записи уравнения Смолуховского - Чепмена
оо Г
^Лу\у1+%^Р- 2 ~у*'т-ду*т [(А^1 ¦ • • АУ^т)у х
m=1 "l "m=1
XWhtl(y\y")]=wt3tl(y:\y''). (3.11)
Здесь индекс у при моментах указывает, что эти моменты являются
условными, т. е. берутся при фиксированных у = у (t2).
3. Основное кинетическое уравнение. Запишем (10) в виде
И,/, (УI у") - и>ии (УI У")] =
= T^[Nd,y@tatl(--^\y)- \]wt2tl{y\y"), (3.12)
где т = t3 - t2 > 0, и устремим т к нулю. Предполагая, что предел
ф/а(у> У) - Нтт-'1 [0,,+т. t,(v\y)- П (3-13)
существует, из (12) получим уравнение
4;т^Лу\у") = мд,уФи(--щ;, у)т^(1у\у"), (3.14)
2 Р. Л. Стратонович 33
которое мы называем кинетическим. Этому уравнению удовлетворяет условное
распределение wt,tl (у | у") как функция от t2. Допишем очевидное
"начальное" условие:
wt2tl(y\y") = b(.y-У") ПРИ ^2 = ^1
(3.15)
для найденного дифференциального уравнения. Если известна функция Ф/а (v,
у) (т. е. оператор кинетического уравнения), то можно найти переходные
вероятности как решение уравнения (14) с начальным условием (15). В этом
смысле кинетический оператор Lt = Ng,yOt (-д/ду, у) определяет статистику
марковского процесса.
Если умножить (14) на Wtt (у") = w (у (tj)) и проинтегрировать по у" = у
(ti), то получим, что одновременная плотность распределения wt (у) = j
Wit, (У | у") wtl (у") dy" удовлетворяет аналогичному уравнению
Оно также называется кинетическим.
Описанный выше предельный переход при т -0 можно производить также,
исходя из уравнения в форме (11). При этом основное кинетическое
уравнение (16) будет иметь такой вид:
Входящий сюда ряд предполагается сходящимся.
Функции (18) будем называть коэффициентами кинетического уравнения или,
короче, коэффициентными функциями. Кинетическое уравнение (17) называется
уравнением Фоккера-Планка, если отличны от нуля лишь коэффициенты Ка (у),
Каха2 (у)- Следовательно, оно имеет вид
Суммирование по а и Р подразумевается.
Такому же уравнению удовлетворяют и вероятности перехода
(у I у")-
34
(3.16)
оо
г
(3.17)
где
Кау..ат (у) = Пт [t-l(Ayai ¦ • - Ауа,п)у).
(3.18)
Функция (13) связана с коэффициентами (18) формулой
оо
т=1 а, os
(3.19)
дш (у)
dt
? IК, fa) Ш to)] + ф ^ М) Ш fa)]. (3.20)
4. Стационарный марковский процесс. Случайный процесс называется
стационарным, если все многовременные распределения
w (у (ty), ..., у (tn))
(3.21)
не меняются при сдвиге времени, т. е. при замене ty, ..., tn на ty + + а,
..., in + а. В этом случае (21) зависит фактически лишь от п - 1 разности
времен, скажем, от t3 - ty = t2i, ..., tn - ty = tnl.
Принимая во внимание формулу (5), видим, что для марковского процесса
условие стационарности сводится только к следующим двум требованиям: 1)
одновременное распределение w (у (t)) не зависит от t и 2) вероятности
перехода wtf (У \ у') зависят лишь от разности времен т = t - t'.
Легко видеть, что в стационарном случае характеристическая функция (8)
должна зависеть лишь от разности времен, а функция (13) не должна
зависеть от времени. Уравнение (14) в стационарном случае принимает вид
Оно вместе с начальным условием
